Résolveur d'équations - Free Online Tool

Résolvez des équations linéaires, quadratiques et des systèmes d'équations avec des solutions étape par étape

Le Résolveur d'équations est un outil algébrique complet qui aide les étudiants, les enseignants, les ingénieurs et les résolveurs de problèmes quotidiens à travailler sur des équations mathématiques de tous types. Que vous traitiez une simple équation linéaire à une variable, que vous trouviez les racines d'une expression quadratique ou que vous résolviez un système complexe d'équations simultanées, cette calculatrice fournit des solutions complètes, étape par étape, avec des explications détaillées à chaque étape.

Comprendre la résolution d'équations

Qu'est-ce qu'une équation ?

Une équation est une déclaration mathématique affirmant que deux expressions sont égales, contenant généralement une ou plusieurs variables inconnues dont nous cherchons les valeurs. L'objectif de la résolution d'équations est de trouver toutes les valeurs de l'inconnu (ou des inconnus) qui rendent les deux côtés de l'équation identiques. Les équations sont classées par le plus haut degré de la variable : le degré 1 est linéaire, le degré 2 est quadratique, et ainsi de suite. Les systèmes d'équations impliquent plusieurs équations qui doivent toutes être satisfaites simultanément. La solution d'une équation linéaire à une variable est un seul nombre. Une équation quadratique peut avoir zéro, une ou deux solutions réelles (ou deux complexes). Un système de deux équations à deux variables a généralement un point de solution unique — l'intersection de deux lignes dans le plan — mais peut également n'avoir pas de solution (lignes parallèles) ou avoir infiniment de solutions (lignes identiques).

Comment les équations sont-elles résolues ?

Les équations linéaires sont résolues en isolant la variable : déplacez tous les termes avec la variable d'un côté et toutes les constantes de l'autre, puis divisez par le coefficient de la variable. Les équations quadratiques sont résolues en utilisant la formule quadratique x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, qui fonctionne toujours, que les racines soient réelles ou complexes. Le discriminant D = b² − 4ac détermine le type de racine avant le calcul. Les systèmes d'équations sont résolus par élimination (multipliez les équations pour faire correspondre un coefficient, puis additionnez ou soustrayez pour éliminer une variable) ou élimination de Gauss pour des systèmes plus grands (transformez la matrice augmentée en forme échelonnée par lignes via des opérations de ligne, puis substituez en arrière). La vérification des solutions est effectuée en substituant les valeurs calculées dans chaque équation d'origine pour confirmer que les deux côtés sont égaux.

Pourquoi la résolution algébrique est-elle importante ?

Les équations apparaissent partout dans la vie réelle. Une équation linéaire modélise un taux d'imposition fixe, un problème de voyage à vitesse constante ou une contrainte budgétaire simple. Une équation quadratique modélise le mouvement des projectiles (quand une balle va-t-elle atterrir ?), l'optimisation de l'aire (quelles dimensions maximisent un jardin ?), ou l'analyse du seuil de rentabilité (à quel prix les revenus sont-ils égaux aux coûts ?). Les systèmes d'équations modélisent les intersections de l'offre et de la demande, les problèmes de mélange, l'analyse de circuits en électronique et la distribution des charges structurelles en ingénierie. Être capable de résoudre des équations avec précision — et de comprendre pourquoi chaque étape est valide — développe les compétences de raisonnement quantitatif qui se transfèrent à la science, à la finance, à l'ingénierie et à la prise de décision quotidienne. Les solutions étape par étape aident également les étudiants à identifier où ils font des erreurs et à renforcer les règles algébriques sous-jacentes.

Limitations de ce résolveur

Cet outil est conçu pour les équations polynomiales linéaires et quadratiques et les systèmes linéaires jusqu'à 3×3. Il ne résout pas les systèmes non linéaires, les polynômes de degré supérieur au degré 2, les équations transcendantes (impliquant des fonctions sin, cos, log ou exponentielles), ou les inégalités. L'analyse des équations pour les modes linéaire et système nécessite une notation algébrique standard avec des coefficients entiers ou décimaux ; les fractions saisies sous forme décimale fonctionnent mieux. Pour le mode quadratique, les coefficients doivent être saisis directement sous forme de nombres. L'affichage étape par étape suit les procédures d'élimination/substitution standard, qui peuvent différer de la notation préférée d'un enseignant individuel. Les solutions sont affichées avec la précision décimale sélectionnée ; les formes exactes radicales sont affichées pour les racines quadratiques. Les racines complexes sont affichées dans une notation a + bi. Il s'agit d'un outil côté client et ne nécessite aucune connexion ou accès réseau.

Equation Solving Formulas

Quadratic Formula

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

Solves any quadratic equation ax² + bx + c = 0. The ± gives two roots, and the discriminant b² − 4ac determines whether they are real or complex.

Linear Solution

ax + b = 0 → x = −b / a

The solution of a single-variable linear equation. Isolate x by moving constants to the other side and dividing by the coefficient.

Discriminant

Δ = b² − 4ac

Determines the nature of quadratic roots: Δ > 0 gives two distinct real roots, Δ = 0 gives one repeated root, and Δ < 0 gives two complex conjugate roots.

Vertex of a Parabola

Vertex = (−b/2a, f(−b/2a))

The turning point of the parabola y = ax² + bx + c. The x-coordinate is −b/(2a) and the y-coordinate is found by substituting back into the equation.

Equation Types Reference

Equation Types and Solution Methods

Overview of common equation types, their standard forms, and the appropriate solving technique.

Equation Type	Forme Standard	Solution Method	Number of Solutions
Linear (1 variable)	ax + b = 0	Isolate x: x = −b/a	Exactly 1 (if a ≠ 0)
Quadratique	ax² + bx + c = 0	Quadratic formula or factoring	0, 1, or 2 real roots
Système 2×2	a₁x + b₁y = c₁; a₂x + b₂y = c₂	Elimination or substitution	0, 1, or infinitely many
Système 3×3	3 equations in x, y, z	Gaussian elimination	0, 1, or infinitely many

Discriminant Interpretation

How the discriminant value classifies the roots of a quadratic equation ax² + bx + c = 0.

Discriminant Value	Type de Racine	Geometric Meaning	Example
Δ > 0	Deux racines réelles distinctes	Parabola crosses x-axis at two points	x² − 5x + 6 = 0 → Δ = 1
Δ = 0	One repeated real root	Parabola touches x-axis at vertex	x² − 6x + 9 = 0 → Δ = 0
Δ < 0	Deux racines complexes conjuguées	Parabola does not cross x-axis	x² + x + 1 = 0 → Δ = −3

Worked Examples

Solve 2x² − 5x + 3 = 0

Identify a = 2, b = −5, c = 3 and apply the quadratic formula.

Compute discriminant: Δ = (−5)² − 4(2)(3) = 25 − 24 = 1

Since Δ > 0, there are two distinct real roots

x₁ = (5 + √1) / (2·2) = 6/4 = 3/2 = 1.5

x₂ = (5 − √1) / (2·2) = 4/4 = 1

Verify: 2(1.5)² − 5(1.5) + 3 = 4.5 − 7.5 + 3 = 0 ✓

x₁ = 1.5 and x₂ = 1

Solve the system: 2x + 3y = 12 and x − y = 1

Use the elimination method to solve this 2×2 system of linear equations.

From equation 2: x = y + 1

Substitute into equation 1: 2(y + 1) + 3y = 12

Expand: 2y + 2 + 3y = 12 → 5y = 10 → y = 2

Back-substitute: x = 2 + 1 = 3

Verify: 2(3) + 3(2) = 12 ✓ and 3 − 2 = 1 ✓

x = 3, y = 2

Comment utiliser le solveur d'équations

Sélectionner le type d'équation

Choisissez parmi quatre modes en haut : Linéaire (une variable), Quadratique (ax² + bx + c = 0), Système 2×2 (deux équations, deux inconnues), ou Système 3×3 (trois équations, trois inconnues). Chaque mode affiche des champs de saisie adaptés à ce type d'équation.

Entrez votre équation ou vos coefficients

Pour les modes Linéaire et Système, tapez vos équations en notation standard (par exemple, 2x + 3y = 7). Pour le mode Quadratique, entrez directement les trois coefficients a, b et c dans les champs dédiés — pas besoin de taper des mathématiques formatées. Utilisez les exemples pré-remplis pour instantanément remplir un problème d'exemple.

Cliquez sur Résoudre et examiner les étapes

Appuyez sur le bouton Résoudre (ou il calcule automatiquement pendant que vous tapez). Le panneau des résultats affiche la réponse finale de manière proéminente, suivie d'une solution étape par étape numérotée avec chaque opération algébrique étiquetée. La carte de référence des formules vous rappelle quelle formule s'applique.

Vérifier et exporter

Vérifiez la ligne de vérification pour confirmer que la solution est correcte — elle substitue votre réponse dans l'équation originale. Copiez la réponse dans le presse-papiers en un clic, ou exportez toutes les étapes au format CSV pour des notes d'étude ou une analyse plus approfondie.

Questions Fréquemment Posées

Quels types d'équations ce solveur peut-il traiter ?

Ce solveur traite quatre catégories d'équations : équations linéaires à une variable (par exemple, 3x − 2 = 7), équations quadratiques sous forme standard ax² + bx + c = 0 (y compris celles avec des racines complexes), systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues (systèmes 2×2), et systèmes de trois équations linéaires à trois inconnues (systèmes 3×3). Il utilise la formule quadratique pour les quadratiques et l'élimination de Gauss pour les systèmes 3×3. Il ne prend pas en charge actuellement les polynômes de degré supérieur, les équations trigonométriques, les équations exponentielles, ou les systèmes non linéaires au-delà du degré 2.

Qu'est-ce que le discriminant et pourquoi est-ce important ?

Le discriminant est l'expression D = b² − 4ac à l'intérieur de la racine carrée de la formule quadratique. Sa valeur vous indique combien de solutions réelles l'équation a avant même de calculer les racines. Si D est supérieur à zéro, l'équation a deux racines réelles distinctes. Si D est égal à zéro, il y a exactement une racine réelle (une racine répétée ou double). Si D est inférieur à zéro, la racine carrée implique la racine carrée d'un nombre négatif, ce qui produit deux racines complexes conjuguées de la forme a ± bi. Connaître le discriminant en premier vous permet de classer immédiatement le type d'équation sans avoir besoin de terminer le calcul.

Comment fonctionne le solveur de systèmes d'équations ?

Pour les systèmes 2×2, le solveur utilise la méthode d'élimination : il multiplie chaque équation par le coefficient approprié pour créer des termes correspondants pour une variable, puis soustrait une équation de l'autre pour éliminer cette variable et résoudre pour la variable restante. Il effectue ensuite une substitution arrière pour trouver la deuxième variable. Pour les systèmes 3×3, il utilise l'élimination de Gauss sur la matrice augmentée, appliquant des opérations sur les lignes (échange de lignes, mise à l'échelle, ajout de multiples) pour atteindre la forme échelonnée, puis substitue en arrière à partir de l'équation du bas vers le haut. Les deux méthodes détectent également lorsque le système n'a pas de solution (équations parallèles ou contradictoires) ou a une infinité de solutions (équations identiques).

Que signifie qu'un système n'a 'pas de solution' ou 'infiniment de solutions' ?

Un système de deux équations linéaires représente deux lignes dans le plan. Si les lignes sont parallèles — même pente mais différentes ordonnées à l'origine — elles ne se croisent jamais, ce qui donne aucune solution (le système est incohérent). Si les lignes sont identiques — une équation est simplement un multiple de l'autre — chaque point sur la ligne est une solution, ce qui donne une infinité de solutions (le système est dépendant). Lorsque le déterminant de la matrice des coefficients est égal à zéro, le solveur vérifie les deux cas et rapporte la classification correcte. Une solution unique se produit uniquement lorsque les deux lignes se croisent à exactement un point (la matrice des coefficients a un déterminant non nul).

Comment le solveur montre-t-il des racines complexes pour les quadratiques ?

Lorsque le discriminant D = b² − 4ac est négatif, l'équation quadratique n'a pas de solutions en nombres réels. Au lieu de cela, les solutions sont des nombres complexes impliquant l'unité imaginaire i (où i² = −1). Le solveur calcule la partie réelle −b/(2a) et la partie imaginaire √|D|/(2a), puis affiche les deux racines complexes conjuguées en notation standard a ± bi. Par exemple, si a = 1, b = 2, c = 5, le discriminant est 4 − 20 = −16, et les racines sont −1 ± 2i. Les racines complexes viennent toujours par paires conjuguées et confirment que l'équation n'a pas d'interceptions réelles sur l'axe des x lorsqu'elle est tracée sous forme de parabole.

Puis-je utiliser des coefficients décimaux ou négatifs pour le mode quadratique ?

Oui. Tous les trois champs de coefficients (a, b, c) dans le mode quadratique acceptent n'importe quel nombre réel, y compris des valeurs négatives (par exemple, a = −2), des valeurs décimales (par exemple, b = 1.5), et zéro pour b ou c (bien que a ne puisse pas être zéro, car cela réduirait l'équation à linéaire). Pour les coefficients négatifs, tapez simplement le signe moins avant le nombre. La formule quadratique fonctionne de manière identique, quel que soit le signe ou la magnitude des coefficients. Notez que si a est zéro, l'équation est linéaire — utilisez le mode Linéaire à la place. Le sélecteur de précision décimale contrôle combien de chiffres sont affichés dans l'approximation numérique des racines.