Entrez les valeurs de la matrice pour commencer
Choisissez un onglet d'opération, entrez les valeurs dans la matrice A (et B si nécessaire), puis cliquez sur Calculer pour voir le résultat avec des solutions étape par étape.
Comment utiliser la calculatrice de matrices
Sélectionnez une catégorie d'opération
Cliquez sur l'un des quatre onglets en haut — Deux Matrices (pour A+B, A-B, A×B, c×A), Matrice Unique (pour transpose, déterminant, inverse, puissance, trace), Analyse (pour rang, RREF, valeurs propres, LU), ou Résoudre Ax=b. Le panneau d'entrée affichera uniquement les contrôles dont vous avez besoin.
Définir les dimensions de la matrice et entrer les valeurs
Utilisez les menus déroulants Lignes et Colonnes à côté de chaque étiquette de matrice pour définir les dimensions (1×1 à 5×5). Cliquez sur chaque cellule et tapez une valeur — les décimales et les fractions comme 1/3 ou -2,5 sont acceptées. Utilisez le bouton Aléatoire pour remplir automatiquement avec des entiers de test, ou chargez un Préréglage Rapide comme Rotation 2×2 ou Carré Magique 3×3.
Choisissez l'opération spécifique et cliquez sur Calculer
Cliquez sur le bouton d'opération qui apparaît sous les grilles de matrice — par exemple, A + B, Déterminant, ou RREF. Le résultat apparaît instantanément à droite. Le panneau 'Que signifie cela ?' sous le résultat donne une explication en anglais simple de la signification mathématique de la sortie.
Réviser les étapes, exporter ou enchaîner les opérations
Si des opérations de ligne étape par étape sont disponibles (RREF, système linéaire), cliquez sur l'accordéon Étapes pour voir chaque pivot et mouvement d'élimination. Utilisez 'Exporter CSV' pour télécharger la matrice de résultat, 'Copier LaTeX' pour des documents académiques, ou 'Copier le résultat → Matrice A' pour alimenter le résultat dans un nouveau calcul.
Questions Fréquemment Posées
Pourquoi ne puis-je pas multiplier deux matrices avec des dimensions incompatibles ?
La multiplication de matrices A×B est définie uniquement lorsque le nombre de colonnes dans A est égal au nombre de lignes dans B. Cela est dû au fait que l'opération calcule chaque entrée de résultat comme un produit scalaire d'une ligne de A avec une colonne de B — ce qui nécessite que la ligne et la colonne aient la même longueur. Si A est une matrice m×p et B est une matrice p×n, le résultat C est m×n. Si aCols ≠ bRows, le produit scalaire est indéfini et l'opération ne peut pas se poursuivre. Cela contraste avec l'addition, où les deux matrices doivent avoir des dimensions identiques (toutes deux m×n) afin que les entrées puissent être appariées élément par élément.
Que signifie-t-il lorsque le déterminant est 0 ?
Un déterminant nul signifie que la matrice est singulière — elle n'a pas d'inverse. Géométriquement, la transformation linéaire écrase l'espace : une transformation 2D avec det=0 réduit le plan à une ligne ou un point, détruisant l'information. Algébriquement, si det(A)=0, les lignes de A sont linéairement dépendantes (une ligne est une combinaison linéaire des autres), et le système Ax=b n'a soit pas de solution, soit une infinité de solutions — jamais une unique. Le rang sera inférieur à n. C'est pourquoi la calculatrice affiche une erreur ('matrice singulière') lorsque vous essayez d'inverser une matrice avec un déterminant nul.
Quelle est la différence entre le rang, RREF et le déterminant ?
Ces trois sorties décrivent différents aspects de la même matrice. Le rang est un entier unique — le nombre de lignes (ou colonnes) linéairement indépendantes, trouvé en comptant les lignes non nulles dans RREF. RREF (Forme Échelonnée Réduite) est la matrice réduite complète elle-même, montrant exactement quelles variables sont basiques (déterminées par les pivots) et lesquelles sont libres (peuvent être fixées arbitrairement). Le déterminant est un scalaire unique défini uniquement pour les matrices carrées ; il est égal à zéro précisément lorsque le rang < n. Le rang s'applique à toute forme de matrice ; RREF s'applique à toute matrice ; le déterminant nécessite une matrice carrée. Ensemble, ils caractérisent complètement l'espace de solution de Ax=0 et Ax=b.
Comment les valeurs propres sont-elles calculées pour des matrices plus grandes que 2×2 ?
Pour les matrices 2×2, les valeurs propres sont calculées sous forme fermée en utilisant la formule quadratique sur le polynôme caractéristique λ² − tr(A)λ + det(A) = 0. Pour les matrices de 3×3 à 5×5, cette calculatrice utilise l'algorithme d'itération QR, qui est la méthode numérique standard utilisée dans les logiciels professionnels d'algèbre linéaire. L'itération QR factorise à plusieurs reprises la matrice en Q×R (orthogonale fois triangulaire supérieure) et la remplace par R×Q, convergeant vers une forme triangulaire supérieure dont les entrées diagonales sont les valeurs propres. Le processus s'exécute jusqu'à 500 itérations avec une tolérance de convergence de 1e-8. Les valeurs propres complexes (provenant de matrices avec des entrées réelles ayant des paires de valeurs propres conjuguées complexes) apparaissent pour les matrices 2×2 sous la forme a + bi et a − bi.
À quoi sert la décomposition LU ?
La décomposition LU factorise la matrice A en le produit d'une matrice triangulaire inférieure L (avec des 1 sur la diagonale) et d'une matrice triangulaire supérieure U. L'utilisation pratique principale est la résolution efficace répétée de Ax=b : une fois que A = LU, résoudre pour n'importe quel côté droit b nécessite deux étapes de substitution triangulaire — substitution directe à travers Ly=b puis substitution inverse à travers Ux=y — chacune prenant seulement O(n²) opérations. C'est beaucoup plus rapide que de recalculer la décomposition complète à chaque fois. Le déterminant de A est égal au produit des entrées diagonales de U (multiplié par le signe de tout échange de lignes lors du pivotement partiel). La décomposition LU est l'algorithme sous-jacent à la plupart des bibliothèques de calcul scientifique pour la résolution de systèmes linéaires.
Quels sont les exemples de matrices préréglées et pourquoi sont-elles utiles ?
La calculatrice comprend quatre préréglages pour une expérimentation rapide. La matrice de Rotation 2×2 [[0,-1],[1,0]] fait tourner les vecteurs de 90 degrés dans le sens antihoraire — utile pour apprendre comment la multiplication de matrices implémente des rotations. Le Carré Magique 3×3 a des lignes, colonnes et diagonales qui s'additionnent toutes à 15, et a un déterminant de -360 et un rang de 3. L'Identité 3×3 est l'élément neutre de la multiplication de matrices : A×I = I×A = A pour tout A compatible. La matrice de Fibonacci 2×2 [[1,1],[1,0]] élevée à la puissance n donne le n-ième nombre de Fibonacci à la position [0][0] — une belle démonstration des puissances de matrices. Chargez n'importe quel préréglage, puis modifiez les valeurs pour explorer comment les résultats changent.