Résolveur d'équations cubiques
Trouvez toutes les trois racines de ax³ + bx² + cx + d = 0 instantanément
Aperçu de l'équation
x³ − 6x² + 11x − 6 = 0
Coefficient dominant — ne doit pas être zéro
Exemples rapides
Entrez les coefficients pour résoudre
Entrez les quatre coefficients a, b, c et d pour votre équation cubique ax³ + bx² + cx + d = 0 pour trouver toutes les trois racines instantanément.
Comment Utiliser le Résolveur d'Équations Cubiques
Entrez les Quatre Coefficients
Tapez vos valeurs pour a, b, c et d dans les champs de saisie à gauche. Ceux-ci correspondent à l'équation ax³ + bx² + cx + d = 0. Par exemple, pour l'équation x³ − 6x² + 11x − 6 = 0, entrez a = 1, b = −6, c = 11, d = −6. Si un terme est absent (par exemple, pas de terme x²), entrez 0 pour ce coefficient. L'aperçu de l'équation se met à jour en direct au fur et à mesure que vous tapez.
Vérifiez l'Aperçu de l'Équation
Lorsque vous tapez, l'aperçu de l'équation au-dessus des entrées montre l'équation cubique formatée avec vos valeurs actuelles. Cela vous permet de confirmer que l'équation est saisie correctement avant de résoudre. Vous pouvez également cliquer sur l'un des exemples rapides pour charger une équation bien connue et voir comment le solveur fonctionne.
Lire les résultats
Après avoir saisi vos coefficients, le solveur calcule automatiquement les trois racines et les affiche à droite. Chaque racine est présentée sous forme d'approximation décimale. Les racines complexes sont affichées sous la forme a + bi. Le badge de type de racine vous indique si vous avez trois racines réelles, une réelle et deux complexes conjuguées, ou des racines répétées. La valeur du discriminant et son interprétation sont affichées sous les racines.
Explorer la décomposition détaillée
Cliquez sur 'Afficher la solution étape par étape' pour voir la dérivation complète de vos coefficients aux racines finales, y compris le cubique déprimé, les valeurs intermédiaires et quelle méthode (Cardano ou trigonométrique) a été utilisée. Cliquez sur 'Afficher la vérification de Vieta' pour confirmer que les racines satisfont la somme classique, la somme des produits et les relations de produit. Utilisez 'Exporter CSV' pour télécharger tous les résultats, ou 'Imprimer' pour une version imprimable.
Questions Fréquemment Posées
Une équation cubique a-t-elle toujours au moins une racine réelle ?
Oui — chaque polynôme cubique avec des coefficients réels a au moins une racine réelle. Cela découle du théorème des valeurs intermédiaires : puisque une fonction cubique f(x) = ax³ + bx² + cx + d tend vers +∞ lorsque x → +∞ et vers −∞ lorsque x → −∞ (ou vice versa lorsque a < 0), la fonction continue doit croiser l'axe des x au moins une fois. Selon le théorème fondamental de l'algèbre, un cubique a exactement trois racines (comptées avec multiplicité) dans les nombres complexes. Étant donné que les racines complexes des polynômes réels viennent par paires conjuguées, et que trois moins deux égale un, il y a toujours au moins une racine réelle.
Que me dit le discriminant sur les racines ?
Le discriminant Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d² est un seul nombre qui classe la nature des trois racines sans résoudre l'équation. Si Δ < 0, the equation has three distinct real roots (the curve crosses the x-axis three times). If Δ = 0, at least two roots are equal — either one double root and one single root, or one triple root. If Δ > 0, il y a une racine réelle et deux racines complexes conjuguées non réelles (la courbe croise l'axe des x exactement une fois). Le discriminant est essentiellement un polynôme dans les coefficients, calculé à partir du résultant du cubique et de sa dérivée.
Quelle est la formule de Cardano et quand est-elle utilisée ?
La formule de Cardano est la solution analytique pour le cubique déprimé t³ + pt + q = 0, publiée par Gerolamo Cardano dans Ars Magna (1545). Après avoir réduit ax³ + bx² + cx + d = 0 à la forme déprimée via la substitution x = t − b/(3a), calculez D = (q/2)² + (p/3)³. Lorsque D > 0, la formule de Cardano donne : S = ∛(−q/2 + √D), T = ∛(−q/2 − √D). Ensuite, t₁ = S + T, t₂ = −(S+T)/2 + i(S−T)√3/2, t₃ = −(S+T)/2 − i(S−T)√3/2. Lorsque D ≤ 0 (trois racines réelles), utiliser directement la formule de Cardano nécessite de prendre des racines cubiques de nombres complexes ; la méthode trigonométrique (Viète) évite cela et est utilisée à la place.
Pourquoi la méthode trigonométrique est-elle nécessaire pour trois racines réelles ?
Lorsque le discriminant est négatif (trois racines réelles distinctes), la formule de Cardano conduit à des racines cubiques intermédiaires de nombres complexes même si les réponses finales sont toutes réelles. C'est le 'casus irreducibilis' (cas irréductible) — le cubique ne peut pas être résolu en utilisant uniquement l'arithmétique réelle dans le cadre de Cardano. La méthode trigonométrique contourne cela en écrivant le cubique déprimé en termes de cosinus : soit m = 2√(−p/3) et θ = (1/3)arccos(3q/(pm)). Les trois racines sont alors x₁ = m·cos(θ) − b/(3a), x₂ = m·cos(θ − 2π/3) − b/(3a), x₃ = m·cos(θ − 4π/3) − b/(3a). Cette méthode fonctionne entièrement avec l'arithmétique réelle et est numériquement stable.
Quelles sont les formules de Vieta et comment vérifient-elles les racines ?
Les formules de Vieta expriment des relations entre les racines r₁, r₂, r₃ et les coefficients du polynôme directement. Pour ax³ + bx² + cx + d = 0 : la somme r₁ + r₂ + r₃ = −b/a ; la somme des paires de racines r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ = c/a ; le produit r₁r₂r₃ = −d/a. Ces relations doivent être vraies pour tout ensemble de racines du cubique. Après avoir calculé les racines, le solveur vérifie toutes les trois conditions de Vieta. Si les valeurs calculées correspondent aux rapports de coefficients attendus (dans la tolérance de flottement), cela confirme que les racines sont correctes. Les formules de Vieta portent le nom du mathématicien français François Viète (1540–1603).
Ce solveur peut-il gérer des équations avec des coefficients fractionnaires ou négatifs ?
Oui — le solveur accepte tous les coefficients de nombres réels, y compris les valeurs négatives, les décimales et les fractions (saisies sous forme décimale). Par exemple, pour résoudre 0.5x³ − 1.5x² + 1.5x − 0.5 = 0, entrez a = 0.5, b = −1.5, c = 1.5, d = −0.5. La seule restriction est que a ne doit pas être zéro. Si vous avez des coefficients fractionnaires comme 3/4, convertissez-les en leur équivalent décimal (0.75) avant de les entrer. Pour des valeurs de coefficients très grandes ou très petites, vous pouvez voir un léger arrondi de flottement dans le dernier chiffre affiché — c'est normal pour l'arithmétique 64 bits et n'affecte pas l'exactitude pratique du résultat.