Résolveur d'équations cubiques - Free Online Tool

Trouvez toutes les trois racines de ax³ + bx² + cx + d = 0 instantanément

Une équation cubique est une équation polynomiale de degré trois, écrite sous la forme standard ax³ + bx² + cx + d = 0, où a ≠ 0. Contrairement aux équations quadratiques (qui peuvent avoir zéro, une ou deux racines réelles), chaque équation cubique avec des coefficients réels a au moins une racine réelle garantie — et exactement trois racines lorsqu'elles sont comptées avec multiplicité dans le système des nombres complexes. Notre Résolveur d'équations cubiques prend vos quatre coefficients (a, b, c et d) et calcule instantanément toutes les trois racines, qu'il s'agisse de trois nombres réels distincts, d'un nombre réel associé à deux conjugués complexes, d'une racine double avec une racine simple, ou d'une seule racine triple.

Comprendre les équations cubiques

Qu'est-ce qu'une équation cubique ?

Une équation cubique est toute équation polynomiale où la plus haute puissance de la variable est trois. La forme standard est ax³ + bx² + cx + d = 0, où a, b, c et d sont des nombres réels et a ne peut pas être zéro (si a = 0, l'équation dégénère en une équation quadratique ou polynomiale de degré inférieur). Selon le théorème fondamental de l'algèbre, chaque polynôme cubique avec des coefficients réels ou complexes a exactement trois racines dans le système des nombres complexes lorsqu'elles sont comptées avec multiplicité. Si les coefficients sont réels, alors les racines complexes viennent toujours par paires conjuguées, ce qui signifie qu'une cubique avec des coefficients réels a toujours au moins une racine réelle. Les trois configurations de racines possibles sont : trois racines réelles distinctes, une racine réelle et deux racines conjuguées complexes, ou des racines répétées (une racine double et une racine simple, ou une racine triple).

Comment les racines sont-elles calculées ?

L'approche standard est la méthode de Cardano, publiée par Gerolamo Cardano en 1545. Tout d'abord, l'équation est réduite à la forme cubique déprimée t³ + pt + q = 0 en substituant x = t − b/(3a), ce qui élimine le terme x². Les coefficients du cubique déprimé sont p = (3ac − b²) / (3a²) et q = (2b³ − 9abc + 27a²d) / (27a³). Ensuite, la quantité semblable au discriminant D = (q/2)² + (p/3)³ est calculée. Si D > 0, la formule de Cardano donne une racine réelle et deux racines complexes. Si D ≤ 0 (trois racines réelles), la méthode trigonométrique (substitution de Viète) est utilisée à la place : définissez m = 2√(−p/3) et θ = (1/3)·arccos(3q/(p·m)), alors les trois racines sont m·cos(θ) − b/(3a), m·cos(θ − 2π/3) − b/(3a), et m·cos(θ − 4π/3) − b/(3a). Enfin, chaque racine t est convertie en x en ajoutant le décalage −b/(3a).

Pourquoi le discriminant est-il important ?

Le discriminant Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d² est un seul nombre qui encode la nature des trois racines sans nécessiter de les calculer réellement. Un discriminant négatif (Δ < 0) guarantees three distinct real roots — the cubic curve crosses the x-axis three times. A zero discriminant (Δ = 0) means at least two roots coincide — the curve is tangent to the x-axis at the repeated root. A positive discriminant (Δ > 0) signifie une racine réelle et deux racines conjuguées complexes non réelles — la courbe croise l'axe des x exactement une fois. Comprendre le discriminant avant de résoudre vous aide à choisir la bonne méthode de solution, à prédire la structure de la réponse et à vérifier que vos racines calculées sont cohérentes avec le type de racine attendu.

Précision et limitations

Tous les calculs utilisent l'arithmétique à virgule flottante en double précision 64 bits, qui fournit environ 15 à 16 chiffres décimaux significatifs. Les valeurs proches de zéro inférieures à 1×10⁻¹⁰ en valeur absolue sont arrondies à zéro pour éliminer le bruit de la virgule flottante — par exemple, la partie imaginaire d'une racine qui devrait théoriquement être zéro mais calculée comme 2.3×10⁻¹⁵ sera affichée comme exactement 0. De même, les parties réelles qui diffèrent d'un entier proche de moins de 1×10⁻¹⁰ sont arrondies à cet entier. Pour les coefficients ayant des magnitudes très grandes (par exemple, a = 10¹⁵) ou des valeurs non nulles très petites, les erreurs d'arrondi en virgule flottante peuvent s'accumuler et affecter les derniers chiffres affichés. Dans ces cas, le redimensionnement de l'équation (en divisant tous les termes par le coefficient dominant, ou en multipliant les dénominateurs pour les coefficients fractionnaires) avant d'entrer les valeurs améliorera la précision. Ce résolveur est destiné aux calculs éducatifs et d'ingénierie où des résultats en double précision sont suffisants.

Cubic Equation Formulas

General Cubic Equation

ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0)

The standard form of a cubic equation with four coefficients. Every cubic with real coefficients has at least one real root and exactly three roots in the complex number system.

Cubic Discriminant

Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d²

The discriminant determines the nature of the roots: Δ < 0 gives three distinct real roots, Δ = 0 gives at least one repeated root, and Δ > 0 gives one real root and two complex conjugate roots.

Depressed Cubic Substitution

x = t − b/(3a), yielding t³ + pt + q = 0

The Tschirnhaus substitution eliminates the x² term, converting the general cubic into a depressed cubic. Here p = (3ac − b²)/(3a²) and q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/(27a³).

Cardano's Formula

t = ∛(−q/2 + √D) + ∛(−q/2 − √D), where D = (q/2)² + (p/3)³

Cardano's formula gives one root of the depressed cubic directly when D > 0. The other two roots are found using the cube roots of unity. When D ≤ 0, the trigonometric method is used instead.

Cubic Equation Reference Tables

Discriminant Interpretation for Cubic Equations

How the value of the discriminant Δ determines the number and type of roots for a cubic equation with real coefficients.

Discriminant Value	Root Configuration	Graph Behavior	Solution Method
Δ < 0	3 distinct real roots	Curve crosses x-axis 3 times	Trigonometric (Viète) method
Δ = 0, p ≠ 0	1 single root + 1 double root	Curve crosses once and is tangent once	Cardano's formula (simplified)
Δ = 0, p = 0	1 triple root (x = −b/3a)	Curve has an inflection point on x-axis	Direct calculation
Δ > 0	1 real + 2 complex conjugate roots	Curve crosses x-axis exactly once	Cardano's formula

Vieta's Formulas for Cubic Equations

Relationships between the roots r₁, r₂, r₃ and the coefficients of ax³ + bx² + cx + d = 0.

Relationship	Formule	Description
Sum of roots	r₁ + r₂ + r₃ = −b/a	The sum of all three roots equals the negation of b/a
Sum of root pairs	r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ = c/a	The sum of all pairwise products equals c/a
Product of roots	r₁ · r₂ · r₃ = −d/a	The product of all three roots equals the negation of d/a

Worked Examples

Solve x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 by Factoring

Coefficients: a = 1, b = −6, c = 11, d = −6. Try rational roots using the Rational Root Theorem.

Possible rational roots are ±(factors of 6)/(factors of 1) = ±1, ±2, ±3, ±6

Test x = 1: 1 − 6 + 11 − 6 = 0 ✓ → x = 1 is a root

Divide by (x − 1) using synthetic division: x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x² − 5x + 6)

Factor the quadratic: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)

Verify with Vieta's: 1 + 2 + 3 = 6 = −(−6)/1 ✓

The three roots are x = 1, x = 2, and x = 3. Factored form: (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0.

Solve x³ + 3x − 4 = 0 Using Cardano's Method

Coefficients: a = 1, b = 0, c = 3, d = −4. Since b = 0, this is already a depressed cubic with p = 3 and q = −4.

Compute D = (q/2)² + (p/3)³ = (−2)² + (1)³ = 4 + 1 = 5

Since D > 0, use Cardano's formula: S = ∛(−(−4)/2 + √5) = ∛(2 + 2.236) = ∛4.236 ≈ 1.618

T = ∛(2 − 2.236) = ∛(−0.236) ≈ −0.618

First root: t₁ = S + T ≈ 1.618 + (−0.618) = 1.0

The other two roots are complex conjugates: t₂,₃ = −0.5 ± 1.658i

One real root x = 1. Two complex roots x ≈ −0.5 ± 1.658i. Verify: 1³ + 3(1) − 4 = 0 ✓.

Comment Utiliser le Résolveur d'Équations Cubiques

Entrez les Quatre Coefficients

Tapez vos valeurs pour a, b, c et d dans les champs de saisie à gauche. Ceux-ci correspondent à l'équation ax³ + bx² + cx + d = 0. Par exemple, pour l'équation x³ − 6x² + 11x − 6 = 0, entrez a = 1, b = −6, c = 11, d = −6. Si un terme est absent (par exemple, pas de terme x²), entrez 0 pour ce coefficient. L'aperçu de l'équation se met à jour en direct au fur et à mesure que vous tapez.

Vérifiez l'Aperçu de l'Équation

Lorsque vous tapez, l'aperçu de l'équation au-dessus des entrées montre l'équation cubique formatée avec vos valeurs actuelles. Cela vous permet de confirmer que l'équation est saisie correctement avant de résoudre. Vous pouvez également cliquer sur l'un des exemples rapides pour charger une équation bien connue et voir comment le solveur fonctionne.

Lire les résultats

Après avoir saisi vos coefficients, le solveur calcule automatiquement les trois racines et les affiche à droite. Chaque racine est présentée sous forme d'approximation décimale. Les racines complexes sont affichées sous la forme a + bi. Le badge de type de racine vous indique si vous avez trois racines réelles, une réelle et deux complexes conjuguées, ou des racines répétées. La valeur du discriminant et son interprétation sont affichées sous les racines.

Explorer la décomposition détaillée

Cliquez sur 'Afficher la solution étape par étape' pour voir la dérivation complète de vos coefficients aux racines finales, y compris le cubique déprimé, les valeurs intermédiaires et quelle méthode (Cardano ou trigonométrique) a été utilisée. Cliquez sur 'Afficher la vérification de Vieta' pour confirmer que les racines satisfont la somme classique, la somme des produits et les relations de produit. Utilisez 'Exporter CSV' pour télécharger tous les résultats, ou 'Imprimer' pour une version imprimable.

Questions Fréquemment Posées

Une équation cubique a-t-elle toujours au moins une racine réelle ?

Oui — chaque polynôme cubique avec des coefficients réels a au moins une racine réelle. Cela découle du théorème des valeurs intermédiaires : puisque une fonction cubique f(x) = ax³ + bx² + cx + d tend vers +∞ lorsque x → +∞ et vers −∞ lorsque x → −∞ (ou vice versa lorsque a < 0), la fonction continue doit croiser l'axe des x au moins une fois. Selon le théorème fondamental de l'algèbre, un cubique a exactement trois racines (comptées avec multiplicité) dans les nombres complexes. Étant donné que les racines complexes des polynômes réels viennent par paires conjuguées, et que trois moins deux égale un, il y a toujours au moins une racine réelle.

Que me dit le discriminant sur les racines ?

Le discriminant Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d² est un seul nombre qui classe la nature des trois racines sans résoudre l'équation. Si Δ < 0, the equation has three distinct real roots (the curve crosses the x-axis three times). If Δ = 0, at least two roots are equal — either one double root and one single root, or one triple root. If Δ > 0, il y a une racine réelle et deux racines complexes conjuguées non réelles (la courbe croise l'axe des x exactement une fois). Le discriminant est essentiellement un polynôme dans les coefficients, calculé à partir du résultant du cubique et de sa dérivée.

Quelle est la formule de Cardano et quand est-elle utilisée ?

La formule de Cardano est la solution analytique pour le cubique déprimé t³ + pt + q = 0, publiée par Gerolamo Cardano dans Ars Magna (1545). Après avoir réduit ax³ + bx² + cx + d = 0 à la forme déprimée via la substitution x = t − b/(3a), calculez D = (q/2)² + (p/3)³. Lorsque D > 0, la formule de Cardano donne : S = ∛(−q/2 + √D), T = ∛(−q/2 − √D). Ensuite, t₁ = S + T, t₂ = −(S+T)/2 + i(S−T)√3/2, t₃ = −(S+T)/2 − i(S−T)√3/2. Lorsque D ≤ 0 (trois racines réelles), utiliser directement la formule de Cardano nécessite de prendre des racines cubiques de nombres complexes ; la méthode trigonométrique (Viète) évite cela et est utilisée à la place.

Pourquoi la méthode trigonométrique est-elle nécessaire pour trois racines réelles ?

Lorsque le discriminant est négatif (trois racines réelles distinctes), la formule de Cardano conduit à des racines cubiques intermédiaires de nombres complexes même si les réponses finales sont toutes réelles. C'est le 'casus irreducibilis' (cas irréductible) — le cubique ne peut pas être résolu en utilisant uniquement l'arithmétique réelle dans le cadre de Cardano. La méthode trigonométrique contourne cela en écrivant le cubique déprimé en termes de cosinus : soit m = 2√(−p/3) et θ = (1/3)arccos(3q/(pm)). Les trois racines sont alors x₁ = m·cos(θ) − b/(3a), x₂ = m·cos(θ − 2π/3) − b/(3a), x₃ = m·cos(θ − 4π/3) − b/(3a). Cette méthode fonctionne entièrement avec l'arithmétique réelle et est numériquement stable.

Quelles sont les formules de Vieta et comment vérifient-elles les racines ?

Les formules de Vieta expriment des relations entre les racines r₁, r₂, r₃ et les coefficients du polynôme directement. Pour ax³ + bx² + cx + d = 0 : la somme r₁ + r₂ + r₃ = −b/a ; la somme des paires de racines r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ = c/a ; le produit r₁r₂r₃ = −d/a. Ces relations doivent être vraies pour tout ensemble de racines du cubique. Après avoir calculé les racines, le solveur vérifie toutes les trois conditions de Vieta. Si les valeurs calculées correspondent aux rapports de coefficients attendus (dans la tolérance de flottement), cela confirme que les racines sont correctes. Les formules de Vieta portent le nom du mathématicien français François Viète (1540–1603).

Ce solveur peut-il gérer des équations avec des coefficients fractionnaires ou négatifs ?

Oui — le solveur accepte tous les coefficients de nombres réels, y compris les valeurs négatives, les décimales et les fractions (saisies sous forme décimale). Par exemple, pour résoudre 0.5x³ − 1.5x² + 1.5x − 0.5 = 0, entrez a = 0.5, b = −1.5, c = 1.5, d = −0.5. La seule restriction est que a ne doit pas être zéro. Si vous avez des coefficients fractionnaires comme 3/4, convertissez-les en leur équivalent décimal (0.75) avant de les entrer. Pour des valeurs de coefficients très grandes ou très petites, vous pouvez voir un léger arrondi de flottement dans le dernier chiffre affiché — c'est normal pour l'arithmétique 64 bits et n'affecte pas l'exactitude pratique du résultat.