Solucionador de Ecuaciones Cúbicas
Encuentra instantáneamente todas las tres raíces de ax³ + bx² + cx + d = 0
Vista Previa de la Ecuación
x³ − 6x² + 11x − 6 = 0
Coeficiente líder — no debe ser cero
Ejemplos rápidos
Ingresa Coeficientes para Resolver
Ingresa los cuatro coeficientes a, b, c y d para tu ecuación cúbica ax³ + bx² + cx + d = 0 para encontrar todas las tres raíces instantáneamente.
Cómo Usar el Solucionador de Ecuaciones Cúbicas
Ingresa los Cuatro Coeficientes
Escribe tus valores para a, b, c y d en los campos de entrada a la izquierda. Estos corresponden a la ecuación ax³ + bx² + cx + d = 0. Por ejemplo, para la ecuación x³ − 6x² + 11x − 6 = 0, ingresa a = 1, b = −6, c = 11, d = −6. Si falta un término (por ejemplo, sin término x²), ingresa 0 para ese coeficiente. La vista previa de la ecuación se actualiza en tiempo real a medida que escribes.
Revisa la Vista Previa de la Ecuación
A medida que escribes, la vista previa de la ecuación sobre las entradas muestra la ecuación cúbica formateada con tus valores actuales. Esto te permite confirmar que la ecuación se ha ingresado correctamente antes de resolverla. También puedes hacer clic en uno de los presets de ejemplo rápido para cargar una ecuación bien conocida y ver cómo funciona el solucionador.
Lee los Resultados
Después de ingresar tus coeficientes, el solucionador calcula automáticamente las tres raíces y las muestra a la derecha. Cada raíz se muestra como una aproximación decimal. Las raíces complejas se muestran en la forma a + bi. La insignia del tipo de raíz te indica si tienes tres raíces reales, una real y dos complejas conjugadas, o raíces repetidas. El valor del discriminante y su interpretación se muestran debajo de las raíces.
Explora el Desglose Detallado
Haz clic en 'Mostrar Solución Paso a Paso' para ver la derivación completa desde tus coeficientes hasta las raíces finales, incluyendo el cúbico deprimido, los valores intermedios y qué método (Cardano o trigonométrico) se utilizó. Haz clic en 'Mostrar Verificación de Vieta' para confirmar que las raíces satisfacen la suma clásica, la suma de productos y las relaciones de producto. Usa 'Exportar CSV' para descargar todos los resultados, o 'Imprimir' para una versión amigable con la impresora.
Preguntas Frecuentes
¿Siempre tiene una ecuación cúbica al menos una raíz real?
Sí, cada polinomio cúbico con coeficientes reales tiene al menos una raíz real. Esto se sigue del teorema del valor intermedio: dado que una función cúbica f(x) = ax³ + bx² + cx + d se aproxima a +∞ cuando x → +∞ y a −∞ cuando x → −∞ (o viceversa cuando a < 0), la función continua debe cruzar el eje x al menos una vez. Por el teorema fundamental del álgebra, un cúbico tiene exactamente tres raíces (contadas con multiplicidad) en los números complejos. Dado que las raíces complejas de los polinomios reales vienen en pares conjugados, y tres menos dos es uno, siempre hay al menos una raíz real.
¿Qué me dice el discriminante sobre las raíces?
El discriminante Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d² es un solo número que clasifica la naturaleza de las tres raíces sin resolver la ecuación. Si Δ < 0, the equation has three distinct real roots (the curve crosses the x-axis three times). If Δ = 0, at least two roots are equal — either one double root and one single root, or one triple root. If Δ > 0, hay una raíz real y dos raíces complejas conjugadas no reales (la curva cruza el eje x exactamente una vez). El discriminante es esencialmente un polinomio en los coeficientes, calculado a partir del resultado del cúbico y su derivada.
¿Cuál es la fórmula de Cardano y cuándo se utiliza?
La fórmula de Cardano es la solución analítica para el cúbico deprimido t³ + pt + q = 0, publicada por Gerolamo Cardano en Ars Magna (1545). Después de reducir ax³ + bx² + cx + d = 0 a forma deprimida mediante la sustitución x = t − b/(3a), calcula D = (q/2)² + (p/3)³. Cuando D > 0, la fórmula de Cardano da: S = ∛(−q/2 + √D), T = ∛(−q/2 − √D). Luego t₁ = S + T, t₂ = −(S+T)/2 + i(S−T)√3/2, t₃ = −(S+T)/2 − i(S−T)√3/2. Cuando D ≤ 0 (tres raíces reales), usar la fórmula de Cardano directamente requiere tomar raíces cúbicas de números complejos; el método trigonométrico (Viète) evita esto y se utiliza en su lugar.
¿Por qué se necesita el método trigonométrico para tres raíces reales?
Cuando el discriminante es negativo (tres raíces reales distintas), la fórmula de Cardano conduce a raíces cúbicas intermedias de números complejos aunque las respuestas finales sean todas reales. Este es el 'casus irreducibilis' (caso irreducible): el cúbico no puede resolverse utilizando solo aritmética real en el marco de Cardano. El método trigonométrico elude esto al escribir el cúbico deprimido en términos de cosenos: sea m = 2√(−p/3) y θ = (1/3)arccos(3q/(pm)). Las tres raíces son entonces x₁ = m·cos(θ) − b/(3a), x₂ = m·cos(θ − 2π/3) − b/(3a), x₃ = m·cos(θ − 4π/3) − b/(3a). Este método trabaja completamente con aritmética real y es numéricamente estable.
¿Cuáles son las fórmulas de Vieta y cómo verifican las raíces?
Las fórmulas de Vieta expresan relaciones entre las raíces r₁, r₂, r₃ y los coeficientes del polinomio directamente. Para ax³ + bx² + cx + d = 0: la suma r₁ + r₂ + r₃ = −b/a; la suma de pares de raíces r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ = c/a; el producto r₁r₂r₃ = −d/a. Estas relaciones deben mantenerse para cualquier conjunto de raíces del cúbico. Después de calcular las raíces, el solucionador verifica las tres condiciones de Vieta. Si los valores calculados coinciden con las proporciones de coeficientes esperadas (dentro de la tolerancia de punto flotante), confirma que las raíces son correctas. Las fórmulas de Vieta llevan el nombre del matemático francés François Viète (1540–1603).
¿Puede este solucionador manejar ecuaciones con coeficientes fraccionarios o negativos?
Sí, el solucionador acepta cualquier coeficiente de número real, incluidos valores negativos, decimales y fracciones (ingresadas como decimales). Por ejemplo, para resolver 0.5x³ − 1.5x² + 1.5x − 0.5 = 0, ingresa a = 0.5, b = −1.5, c = 1.5, d = −0.5. La única restricción es que a no debe ser cero. Si tienes coeficientes fraccionarios como 3/4, conviértelos a su equivalente decimal (0.75) antes de ingresarlos. Para valores de coeficientes muy grandes o muy pequeños, puedes ver un ligero redondeo de punto flotante en el último dígito mostrado; esto es normal para la aritmética de 64 bits y no afecta la precisión práctica del resultado.