Introducir valores de la matriz para comenzar
Elija una pestaña de operación, ingrese valores en la Matriz A (y B si es necesario), luego haga clic en Calcular para ver el resultado con soluciones paso a paso.
Cómo usar la calculadora de matrices
Selecciona una categoría de operación
Haz clic en una de las cuatro pestañas en la parte superior — Dos Matrices (para A+B, A-B, A×B, c×A), Matriz Única (para transposición, determinante, inversa, potencia, traza), Análisis (para rango, RREF, valores propios, LU), o Resolver Ax=b. El panel de entrada mostrará solo los controles que necesitas.
Establece las dimensiones de la matriz e ingresa valores
Usa los menús desplegables de Filas y Columnas junto a cada etiqueta de matriz para establecer dimensiones (1×1 a 5×5). Haz clic en cada celda y escribe un valor — se aceptan decimales y fracciones como 1/3 o -2.5. Usa el botón Aleatorio para llenar automáticamente con enteros de prueba, o carga un Preset Rápido como Rotación 2×2 o Cuadrado Mágico 3×3.
Elige la operación específica y haz clic en Calcular
Haz clic en el botón de operación que aparece debajo de las cuadrículas de matrices — por ejemplo, A + B, Determinante, o RREF. El resultado aparece instantáneamente a la derecha. El panel '¿Qué significa esto?' debajo del resultado da una explicación en inglés sencillo del significado matemático de la salida.
Revisa los pasos, exporta o encadena operaciones
Si hay operaciones de fila paso a paso disponibles (RREF, sistema lineal), haz clic en el acordeón de Pasos para ver cada pivote y movimiento de eliminación. Usa 'Exportar CSV' para descargar la matriz de resultados, 'Copiar LaTeX' para documentos académicos, o 'Copiar resultado → Matriz A' para alimentar el resultado en un nuevo cálculo.
Preguntas Frecuentes
¿Por qué no puedo multiplicar dos matrices con dimensiones desiguales?
La multiplicación de matrices A×B está definida solo cuando el número de columnas en A es igual al número de filas en B. Esto se debe a que la operación calcula cada entrada de resultado como un producto punto de una fila de A con una columna de B — lo que requiere que la fila y la columna tengan la misma longitud. Si A es una matriz m×p y B es una matriz p×n, el resultado C es m×n. Si aCols ≠ bRows, el producto punto no está definido y la operación no puede proceder. Esto contrasta con la adición, donde ambas matrices deben tener dimensiones idénticas (ambas m×n) para que las entradas puedan emparejarse elemento por elemento.
¿Qué significa cuando el determinante es 0?
Un determinante cero significa que la matriz es singular — no tiene inversa. Geométricamente, la transformación lineal aplana el espacio: una transformación 2D con det=0 colapsa el plano en una línea o un punto, destruyendo información. Algebraicamente, si det(A)=0, las filas de A son linealmente dependientes (alguna fila es una combinación lineal de las otras), y el sistema Ax=b o no tiene solución o tiene infinitas soluciones — nunca una única. El rango será menor que n. Por eso la calculadora muestra un error ('matriz singular') cuando intentas invertir una matriz con un determinante cero.
¿Cuál es la diferencia entre rango, RREF y determinante?
Estas tres salidas describen diferentes aspectos de la misma matriz. El rango es un solo entero — el número de filas (o columnas) linealmente independientes, encontrado al contar las filas no cero en RREF. RREF (Forma Escalonada Reducida) es la matriz reducida completa en sí misma, mostrando exactamente qué variables son básicas (determinadas por pivotes) y cuáles son libres (pueden ser establecidas arbitrariamente). El determinante es un escalar único definido solo para matrices cuadradas; es igual a cero precisamente cuando el rango < n. El rango se aplica a cualquier forma de matriz; RREF se aplica a cualquier matriz; el determinante requiere una matriz cuadrada. Juntos caracterizan completamente el espacio de soluciones de Ax=0 y Ax=b.
¿Cómo se calculan los valores propios para matrices mayores de 2×2?
Para matrices de 2×2, los valores propios se calculan en forma cerrada utilizando la fórmula cuadrática sobre el polinomio característico λ² − tr(A)λ + det(A) = 0. Para matrices de 3×3 a 5×5, esta calculadora utiliza el algoritmo de iteración QR, que es el método numérico estándar utilizado en software profesional de álgebra lineal. La iteración QR factoriza repetidamente la matriz como Q×R (ortogonal por triangular superior) y la reemplaza con R×Q, convergiendo hacia una forma triangular superior cuyas entradas diagonales son los valores propios. El proceso se ejecuta hasta 500 iteraciones con una tolerancia de convergencia de 1e-8. Los valores propios complejos (de matrices con entradas reales que tienen pares de valores propios conjugados complejos) aparecen para matrices de 2×2 en la forma a + bi y a − bi.
¿Para qué se utiliza la descomposición LU?
La descomposición LU factoriza la matriz A en el producto de una matriz triangular inferior L (con 1s en la diagonal) y una matriz triangular superior U. El uso práctico principal es la resolución eficiente repetida de Ax=b: una vez que A = LU, resolver para cualquier lado derecho b requiere dos pasos de sustitución triangular — sustitución hacia adelante a través de Ly=b y luego sustitución hacia atrás a través de Ux=y — cada uno de los cuales toma solo O(n²) operaciones. Esto es mucho más rápido que recomputar la descomposición completa cada vez. El determinante de A es igual al producto de las entradas diagonales de U (multiplicado por el signo de cualquier intercambio de filas durante el pivoteo parcial). La descomposición LU es el algoritmo subyacente a la mayoría de las bibliotecas de computación científica para resolver sistemas lineales.
¿Cuáles son las matrices de ejemplo preestablecidas y por qué son útiles?
La calculadora incluye cuatro preestablecidos para una rápida experimentación. La matriz de Rotación 2×2 [[0,-1],[1,0]] rota vectores 90 grados en sentido antihorario — útil para aprender cómo la multiplicación de matrices implementa rotaciones. El Cuadrado Mágico 3×3 tiene filas, columnas y diagonales que suman 15, y tiene un determinante de -360 y rango 3. La Identidad 3×3 es el elemento neutro de la multiplicación de matrices: A×I = I×A = A para cualquier A compatible. La matriz de Fibonacci 2×2 [[1,1],[1,0]] elevada a la potencia n da el enésimo número de Fibonacci en la posición [0][0] — una hermosa demostración de las potencias de matrices. Carga cualquier preestablecido, luego modifica los valores para explorar cómo cambian los resultados.