Gleichungslöser
Gib eine lineare Gleichung mit einer Variablen in standardisierter Notation ein
Beispielprobleme
Gib eine Gleichung ein, um sie zu lösen
Wähle einen Modus, gib deine Gleichung oder Koeffizienten ein und klicke auf Lösen, um eine Schritt-für-Schritt-Lösung mit vollständiger Bearbeitung zu sehen.
So verwenden Sie den Gleichungsrechner
Wählen Sie den Gleichungstyp
Wählen Sie aus vier Modi oben: Linear (eine Variable), Quadratisch (ax² + bx + c = 0), System 2×2 (zwei Gleichungen, zwei Unbekannte) oder System 3×3 (drei Gleichungen, drei Unbekannte). Jeder Modus zeigt maßgeschneiderte Eingabefelder für diesen Gleichungstyp.
Geben Sie Ihre Gleichung oder Koeffizienten ein
Für die Modi Linear und System geben Sie Ihre Gleichungen in Standardnotation ein (z. B. 2x + 3y = 7). Für den quadratischen Modus geben Sie die drei Koeffizienten a, b und c direkt in die vorgesehenen Felder ein – es ist nicht nötig, formatierte Mathematik einzugeben. Verwenden Sie die Beispielchips, um ein Beispielproblem sofort vorab auszufüllen.
Klicken Sie auf Lösen und Überprüfen der Schritte
Drücken Sie die Schaltfläche Lösen (oder es wird automatisch berechnet, während Sie tippen). Das Ergebnisfeld zeigt die endgültige Antwort deutlich an, gefolgt von einer nummerierten Schritt-für-Schritt-Lösung mit jeder algebraischen Operation beschriftet. Die Formelreferenzkarte erinnert Sie daran, welche Formel gilt.
Überprüfen und Exportieren
Überprüfen Sie die Verifizierungszeile, um zu bestätigen, dass die Lösung korrekt ist – sie setzt Ihre Antwort in die ursprüngliche Gleichung zurück ein. Kopieren Sie die Antwort mit einem Klick in die Zwischenablage oder exportieren Sie alle Schritte als CSV für Studiennotizen oder weitere Analysen.
Häufig gestellte Fragen
Welche Arten von Gleichungen kann dieser Rechner bearbeiten?
Dieser Rechner bearbeitet vier Kategorien von Gleichungen: lineare Gleichungen mit einer Variablen (z. B. 3x − 2 = 7), quadratische Gleichungen in Standardform ax² + bx + c = 0 (einschließlich solcher mit komplexen Wurzeln), Systeme von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten (2×2-Systeme) und Systeme von drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten (3×3-Systeme). Er verwendet die quadratische Formel für Quadrate und die Gaußsche Eliminierung für 3×3-Systeme. Derzeit werden keine höhergradigen Polynome, trigonometrischen Gleichungen, exponentiellen Gleichungen oder nichtlinearen Systeme über Grad 2 unterstützt.
Was ist die Diskriminante und warum ist sie wichtig?
Die Diskriminante ist der Ausdruck D = b² − 4ac innerhalb der Quadratwurzel der quadratischen Formel. Ihr Wert sagt Ihnen, wie viele reelle Lösungen die Gleichung hat, bevor Sie die Wurzeln überhaupt berechnen. Wenn D größer als null ist, hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln. Wenn D gleich null ist, gibt es genau eine reelle Wurzel (eine wiederholte oder doppelte Wurzel). Wenn D kleiner als null ist, beinhaltet die Quadratwurzel die Quadratwurzel einer negativen Zahl, was zwei komplexe konjugierte Wurzeln der Form a ± bi ergibt. Die Kenntnis der Diskriminante ermöglicht es Ihnen, den Gleichungstyp sofort zu klassifizieren, ohne die Berechnung abschließen zu müssen.
Wie funktioniert der Gleichungssystem-Rechner?
Für 2×2-Systeme verwendet der Rechner die Eliminationsmethode: Er multipliziert jede Gleichung mit dem entsprechenden Koeffizienten, um übereinstimmende Terme für eine Variable zu erstellen, und subtrahiert dann eine Gleichung von der anderen, um diese Variable zu eliminieren und die verbleibende zu lösen. Dann wird rücksubstituiert, um die zweite Variable zu finden. Für 3×3-Systeme verwendet er die Gaußsche Eliminierung auf der erweiterten Matrix, indem er Zeilenoperationen (Zeilen tauschen, skalieren, Vielfache addieren) anwendet, um die Zeilenstufenform zu erreichen, und dann rücksubstituiert er von der unteren Gleichung nach oben. Beide Methoden erkennen auch, wenn das System keine Lösung hat (parallele oder widersprüchliche Gleichungen) oder unendlich viele Lösungen hat (identische Gleichungen).
Was bedeutet es, wenn ein System 'keine Lösung' oder 'unendlich viele Lösungen' hat?
Ein System von zwei linearen Gleichungen stellt zwei Linien in der Ebene dar. Wenn die Linien parallel sind – gleicher Anstieg, aber unterschiedliche Schnittpunkte – schneiden sie sich nie, was keine Lösung ergibt (das System ist inkonsistent). Wenn die Linien identisch sind – eine Gleichung ist einfach ein Vielfaches der anderen – ist jeder Punkt auf der Linie eine Lösung, was unendlich viele Lösungen ergibt (das System ist abhängig). Wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix gleich null ist, überprüft der Rechner beide Fälle und meldet die korrekte Klassifizierung. Eine eindeutige Lösung tritt nur auf, wenn sich die beiden Linien an genau einem Punkt schneiden (die Koeffizientenmatrix hat eine von null verschiedene Determinante).
Wie zeigt der Rechner komplexe Wurzeln für Quadrate an?
Wenn die Diskriminante D = b² − 4ac negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösungen in reellen Zahlen. Stattdessen sind die Lösungen komplexe Zahlen, die die imaginäre Einheit i enthalten (wobei i² = −1). Der Rechner berechnet den Realteil −b/(2a) und den Imaginärteil √|D|/(2a) und zeigt dann die beiden komplexen konjugierten Wurzeln in der Standardform a ± bi an. Zum Beispiel, wenn a = 1, b = 2, c = 5, ist die Diskriminante 4 − 20 = −16, und die Wurzeln sind −1 ± 2i. Komplexe Wurzeln kommen immer in konjugierten Paaren und bestätigen, dass die Gleichung keine reellen x-Schnittpunkte hat, wenn sie als Parabel dargestellt wird.
Kann ich Dezimal- oder negative Koeffizienten für den quadratischen Modus verwenden?
Ja. Alle drei Koeffizientenfelder (a, b, c) im quadratischen Modus akzeptieren jede reelle Zahl, einschließlich negativer Werte (z. B. a = −2), Dezimalwerte (z. B. b = 1,5) und null für b oder c (obwohl a nicht null sein kann, da dies die Gleichung auf linear reduzieren würde). Für negative Koeffizienten geben Sie einfach das Minuszeichen vor der Zahl ein. Die quadratische Formel funktioniert unabhängig von der Vorzeichen oder Größe der Koeffizienten identisch. Beachten Sie, dass, wenn a null ist, die Gleichung linear ist – verwenden Sie stattdessen den linearen Modus. Der Dezimalgenauigkeitswähler steuert, wie viele Ziffern in der numerischen Annäherung der Wurzeln angezeigt werden.