Kubische Gleichungsrechner
Finden Sie sofort alle drei Wurzeln von ax³ + bx² + cx + d = 0
Gleichungsansicht
x³ − 6x² + 11x − 6 = 0
Führender Koeffizient — darf nicht null sein
Schnelle Beispiele
Geben Sie Koeffizienten zur Lösung ein
Geben Sie die vier Koeffizienten a, b, c und d für Ihre kubische Gleichung ax³ + bx² + cx + d = 0 ein, um sofort alle drei Wurzeln zu finden.
So verwenden Sie den kubischen Gleichungsrechner
Geben Sie die vier Koeffizienten ein
Geben Sie Ihre Werte für a, b, c und d in die Eingabefelder auf der linken Seite ein. Diese entsprechen der Gleichung ax³ + bx² + cx + d = 0. Zum Beispiel, für die Gleichung x³ − 6x² + 11x − 6 = 0, geben Sie a = 1, b = −6, c = 11, d = −6 ein. Wenn ein Term fehlt (z. B. kein x²-Term), geben Sie 0 für diesen Koeffizienten ein. Die Vorschau der Gleichung wird live aktualisiert, während Sie tippen.
Überprüfen Sie die Gleichungsvorschau
Während Sie tippen, zeigt die Vorschau der Gleichung über den Eingaben die formatierte kubische Gleichung mit Ihren aktuellen Werten. Dies ermöglicht es Ihnen, zu bestätigen, dass die Gleichung korrekt eingegeben wurde, bevor Sie sie lösen. Sie können auch auf eines der schnellen Beispielvorgaben klicken, um eine bekannte Gleichung zu laden und zu sehen, wie der Löser funktioniert.
Ergebnisse lesen
Nachdem Sie Ihre Koeffizienten eingegeben haben, berechnet der Löser automatisch alle drei Wurzeln und zeigt sie rechts an. Jede Wurzel wird als dezimale Annäherung angezeigt. Komplexe Wurzeln werden in der Form a + bi dargestellt. Das Wurzeltagsymbol zeigt Ihnen an, ob Sie drei reelle Wurzeln, eine reelle und zwei komplexe Konjugate oder wiederholte Wurzeln haben. Der Wert des Diskriminanten und seine Interpretation werden unter den Wurzeln angezeigt.
Detaillierte Aufschlüsselung erkunden
Klicken Sie auf 'Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen', um die vollständige Ableitung von Ihren Koeffizienten zu den endgültigen Wurzeln zu sehen, einschließlich der depressiven Kubik, Zwischenwerte und welche Methode (Cardano oder trigonometrisch) verwendet wurde. Klicken Sie auf 'Vietas Überprüfung anzeigen', um zu bestätigen, dass die Wurzeln die klassischen Summen-, Produkt- und Produktbeziehungen erfüllen. Verwenden Sie 'CSV exportieren', um alle Ergebnisse herunterzuladen, oder 'Drucken' für eine druckerfreundliche Version.
Häufig gestellte Fragen
Hat eine kubische Gleichung immer mindestens eine reelle Wurzel?
Ja — jedes kubische Polynom mit reellen Koeffizienten hat mindestens eine reelle Wurzel. Dies folgt aus dem Zwischenwertsatz: Da eine kubische Funktion f(x) = ax³ + bx² + cx + d gegen +∞ strebt, wenn x → +∞ und gegen −∞, wenn x → −∞ (oder umgekehrt, wenn a < 0), muss die stetige Funktion die x-Achse mindestens einmal schneiden. Nach dem grundlegenden Satz der Algebra hat eine Kubik genau drei Wurzeln (gezählt mit Vielfachheit) in den komplexen Zahlen. Da komplexe Wurzeln reeller Polynome in konjugierten Paaren auftreten und drei minus zwei eins ergibt, gibt es immer mindestens eine reelle Wurzel.
Was sagt der Diskriminant über die Wurzeln aus?
Der Diskriminant Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d² ist eine einzelne Zahl, die die Natur aller drei Wurzeln klassifiziert, ohne die Gleichung zu lösen. Wenn Δ < 0, the equation has three distinct real roots (the curve crosses the x-axis three times). If Δ = 0, at least two roots are equal — either one double root and one single root, or one triple root. If Δ > 0, gibt es eine reelle Wurzel und zwei nicht-reelle komplexe konjugierte Wurzeln (die Kurve schneidet die x-Achse genau einmal). Der Diskriminant ist im Wesentlichen ein Polynom in den Koeffizienten, das aus dem Resultanten der Kubik und ihrer Ableitung berechnet wird.
Was ist die Formel von Cardano und wann wird sie verwendet?
Die Formel von Cardano ist die analytische Lösung für die depressive Kubik t³ + pt + q = 0, veröffentlicht von Gerolamo Cardano in Ars Magna (1545). Nachdem ax³ + bx² + cx + d = 0 durch die Substitution x = t − b/(3a) in die depressive Form reduziert wurde, berechnen Sie D = (q/2)² + (p/3)³. Wenn D > 0, gibt die Formel von Cardano: S = ∛(−q/2 + √D), T = ∛(−q/2 − √D). Dann t₁ = S + T, t₂ = −(S+T)/2 + i(S−T)√3/2, t₃ = −(S+T)/2 − i(S−T)√3/2. Wenn D ≤ 0 (drei reelle Wurzeln), erfordert die direkte Verwendung der Formel von Cardano, dass Kubikwurzeln von komplexen Zahlen genommen werden; die trigonometrische (Viète) Methode umgeht dies und wird stattdessen verwendet.
Warum wird die trigonometrische Methode für drei reelle Wurzeln benötigt?
Wenn der Diskriminant negativ ist (drei unterschiedliche reelle Wurzeln), führt die Formel von Cardano zu Zwischen-Kubikwurzeln von komplexen Zahlen, obwohl die endgültigen Antworten alle reell sind. Dies ist der 'casus irreducibilis' (irreduzibler Fall) — die Kubik kann nicht nur mit reeller Arithmetik im Rahmen von Cardano gelöst werden. Die trigonometrische Methode umgeht dies, indem sie die depressive Kubik in Bezug auf Kosinus schreibt: lassen Sie m = 2√(−p/3) und θ = (1/3)arccos(3q/(pm)). Die drei Wurzeln sind dann x₁ = m·cos(θ) − b/(3a), x₂ = m·cos(θ − 2π/3) − b/(3a), x₃ = m·cos(θ − 4π/3) − b/(3a). Diese Methode arbeitet vollständig mit reeller Arithmetik und ist numerisch stabil.
Was sind Vietas Formeln und wie überprüfen sie die Wurzeln?
Vietas Formeln drücken Beziehungen zwischen den Wurzeln r₁, r₂, r₃ und den Koeffizienten des Polynoms direkt aus. Für ax³ + bx² + cx + d = 0: die Summe r₁ + r₂ + r₃ = −b/a; die Summe der Wurzelpaare r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ = c/a; das Produkt r₁r₂r₃ = −d/a. Diese Beziehungen müssen für jede Menge von Wurzeln der Kubik gelten. Nachdem die Wurzeln berechnet wurden, überprüft der Löser alle drei Vieta-Bedingungen. Wenn die berechneten Werte mit den erwarteten Koeffizientenverhältnissen (innerhalb der Gleitkomma-Toleranz) übereinstimmen, bestätigt dies, dass die Wurzeln korrekt sind. Vietas Formeln sind nach dem französischen Mathematiker François Viète (1540–1603) benannt.
Kann dieser Löser Gleichungen mit gebrochenen oder negativen Koeffizienten behandeln?
Ja — der Löser akzeptiert beliebige reelle Zahlenkoeffizienten, einschließlich negativer Werte, Dezimalzahlen und Brüche (die als Dezimalzahlen eingegeben werden). Zum Beispiel, um 0.5x³ − 1.5x² + 1.5x − 0.5 = 0 zu lösen, geben Sie a = 0.5, b = −1.5, c = 1.5, d = −0.5 ein. Die einzige Einschränkung ist, dass a nicht null sein darf. Wenn Sie gebrochene Koeffizienten wie 3/4 haben, konvertieren Sie sie in ihren dezimalen Äquivalent (0.75), bevor Sie sie eingeben. Bei sehr großen oder sehr kleinen Koeffizientenwerten können Sie geringfügige Gleitkomma-Rundungsfehler in der letzten angezeigten Ziffer sehen — dies ist normal für 64-Bit-Arithmetik und beeinträchtigt nicht die praktische Genauigkeit des Ergebnisses.