Kubische Gleichungsrechner - Free Online Tool

Finden Sie sofort alle drei Wurzeln von ax³ + bx² + cx + d = 0

Eine kubische Gleichung ist eine polynomiale Gleichung dritten Grades, die in der Standardform ax³ + bx² + cx + d = 0 geschrieben wird, wobei a ≠ 0. Im Gegensatz zu quadratischen Gleichungen (die null, eine oder zwei reelle Wurzeln haben können) hat jede kubische Gleichung mit reellen Koeffizienten garantiert mindestens eine reelle Wurzel — und genau drei Wurzeln, wenn man die Vielfachheit im komplexen Zahlensystem zählt. Unser kubischer Gleichungsrechner nimmt Ihre vier Koeffizienten (a, b, c und d) und berechnet sofort alle drei Wurzeln, egal ob es sich um drei verschiedene reelle Zahlen, eine reelle Zahl zusammen mit zwei komplexen Konjugierten, eine doppelte Wurzel mit einer einzelnen Wurzel oder eine einzelne dreifache Wurzel handelt.

Verständnis kubischer Gleichungen

Was ist eine kubische Gleichung?

Eine kubische Gleichung ist jede polynomiale Gleichung, bei der die höchste Potenz der Variablen drei ist. Die Standardform ist ax³ + bx² + cx + d = 0, wobei a, b, c und d reelle Zahlen sind und a nicht null sein kann (wenn a = 0, degeneriert die Gleichung zu einer quadratischen oder polynomiellen Gleichung niedrigeren Grades). Nach dem grundlegenden Satz der Algebra hat jedes kubische Polynom mit reellen oder komplexen Koeffizienten genau drei Wurzeln im komplexen Zahlensystem, wenn man die Vielfachheit zählt. Wenn die Koeffizienten reell sind, kommen komplexe Wurzeln immer in konjugierten Paaren, was bedeutet, dass eine kubische Gleichung mit reellen Koeffizienten immer mindestens eine reelle Wurzel hat. Die drei möglichen Wurzelkonfigurationen sind: drei verschiedene reelle Wurzeln, eine reelle Wurzel und zwei komplexe konjugierte Wurzeln oder wiederholte Wurzeln (eine doppelte Wurzel und eine einzelne Wurzel oder eine dreifache Wurzel).

Wie werden die Wurzeln berechnet?

Der Standardansatz ist die Methode von Cardano, die 1545 von Gerolamo Cardano veröffentlicht wurde. Zuerst wird die Gleichung in die reduzierte kubische Form t³ + pt + q = 0 umgeformt, indem x = t − b/(3a) substituiert wird, was den x²-Term eliminiert. Die reduzierten kubischen Koeffizienten sind p = (3ac − b²) / (3a²) und q = (2b³ − 9abc + 27a²d) / (27a³). Als nächstes wird die diskriminantenähnliche Größe D = (q/2)² + (p/3)³ berechnet. Wenn D > 0, gibt die Formel von Cardano eine reelle und zwei komplexe Wurzeln. Wenn D ≤ 0 (drei reelle Wurzeln), wird stattdessen die trigonometrische Methode (Vietas Substitution) verwendet: setze m = 2√(−p/3) und θ = (1/3)·arccos(3q/(p·m)), dann sind die drei Wurzeln m·cos(θ) − b/(3a), m·cos(θ − 2π/3) − b/(3a) und m·cos(θ − 4π/3) − b/(3a). Schließlich wird jede t-Wurzel zurück zu x konvertiert, indem der Offset −b/(3a) addiert wird.

Warum ist die Diskriminante wichtig?

Die Diskriminante Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d² ist eine einzelne Zahl, die die Natur aller drei Wurzeln kodiert, ohne dass Sie sie tatsächlich berechnen müssen. Eine negative Diskriminante (Δ < 0) guarantees three distinct real roots — the cubic curve crosses the x-axis three times. A zero discriminant (Δ = 0) means at least two roots coincide — the curve is tangent to the x-axis at the repeated root. A positive discriminant (Δ > 0) bedeutet eine reelle Wurzel und zwei nicht-reelle komplexe konjugierte Wurzeln — die Kurve schneidet die x-Achse genau einmal. Das Verständnis der Diskriminante vor dem Lösen hilft Ihnen, die richtige Lösungsmethode auszuwählen, die Struktur der Antwort vorherzusagen und zu überprüfen, dass Ihre berechneten Wurzeln mit dem erwarteten Wurzeltyp übereinstimmen.

Präzision und Einschränkungen

Alle Berechnungen verwenden 64-Bit-Doppelpräzisions-Gleitkommaarithmetik, die ungefähr 15–16 signifikante Dezimalstellen bietet. Nahe Null liegende Werte kleiner als 1×10⁻¹⁰ im absoluten Wert werden auf Null gerundet, um Gleitkomma-Rauschen zu eliminieren — zum Beispiel wird der Imaginärteil einer Wurzel, der theoretisch Null sein sollte, aber als 2.3×10⁻¹⁵ berechnet wurde, genau als 0 angezeigt. Ebenso werden reelle Teile, die sich von einer nahegelegenen Ganzzahl um weniger als 1×10⁻¹⁰ unterscheiden, auf diese Ganzzahl gerundet. Bei Koeffizienten mit sehr großen Beträgen (z. B. a = 10¹⁵) oder sehr kleinen, nicht-null Werten können Gleitkomma-Rundungsfehler akkumulieren und die letzten angezeigten Ziffern beeinflussen. In diesen Fällen verbessert das Reskalieren der Gleichung (alle Terme durch den führenden Koeffizienten dividieren oder Nenner für Bruchkoeffizienten ausmultiplizieren), bevor Werte eingegeben werden, die Genauigkeit. Dieser Rechner ist für Bildungs- und Ingenieurberechnungen gedacht, bei denen Ergebnisse in Doppelpräzision ausreichend sind.

Cubic Equation Formulas

General Cubic Equation

ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0)

The standard form of a cubic equation with four coefficients. Every cubic with real coefficients has at least one real root and exactly three roots in the complex number system.

Cubic Discriminant

Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d²

The discriminant determines the nature of the roots: Δ < 0 gives three distinct real roots, Δ = 0 gives at least one repeated root, and Δ > 0 gives one real root and two complex conjugate roots.

Depressed Cubic Substitution

x = t − b/(3a), yielding t³ + pt + q = 0

The Tschirnhaus substitution eliminates the x² term, converting the general cubic into a depressed cubic. Here p = (3ac − b²)/(3a²) and q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/(27a³).

Cardano's Formula

t = ∛(−q/2 + √D) + ∛(−q/2 − √D), where D = (q/2)² + (p/3)³

Cardano's formula gives one root of the depressed cubic directly when D > 0. The other two roots are found using the cube roots of unity. When D ≤ 0, the trigonometric method is used instead.

Cubic Equation Reference Tables

Discriminant Interpretation for Cubic Equations

How the value of the discriminant Δ determines the number and type of roots for a cubic equation with real coefficients.

Discriminant Value	Root Configuration	Graph Behavior	Solution Method
Δ < 0	3 distinct real roots	Curve crosses x-axis 3 times	Trigonometric (Viète) method
Δ = 0, p ≠ 0	1 single root + 1 double root	Curve crosses once and is tangent once	Cardano's formula (simplified)
Δ = 0, p = 0	1 triple root (x = −b/3a)	Curve has an inflection point on x-axis	Direct calculation
Δ > 0	1 real + 2 complex conjugate roots	Curve crosses x-axis exactly once	Cardano's formula

Vieta's Formulas for Cubic Equations

Relationships between the roots r₁, r₂, r₃ and the coefficients of ax³ + bx² + cx + d = 0.

Relationship	Formel	Beschreibung
Sum of roots	r₁ + r₂ + r₃ = −b/a	The sum of all three roots equals the negation of b/a
Sum of root pairs	r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ = c/a	The sum of all pairwise products equals c/a
Product of roots	r₁ · r₂ · r₃ = −d/a	The product of all three roots equals the negation of d/a

Worked Examples

Solve x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 by Factoring

Coefficients: a = 1, b = −6, c = 11, d = −6. Try rational roots using the Rational Root Theorem.

Possible rational roots are ±(factors of 6)/(factors of 1) = ±1, ±2, ±3, ±6

Test x = 1: 1 − 6 + 11 − 6 = 0 ✓ → x = 1 is a root

Divide by (x − 1) using synthetic division: x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x² − 5x + 6)

Factor the quadratic: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)

Verify with Vieta's: 1 + 2 + 3 = 6 = −(−6)/1 ✓

The three roots are x = 1, x = 2, and x = 3. Factored form: (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0.

Solve x³ + 3x − 4 = 0 Using Cardano's Method

Coefficients: a = 1, b = 0, c = 3, d = −4. Since b = 0, this is already a depressed cubic with p = 3 and q = −4.

Compute D = (q/2)² + (p/3)³ = (−2)² + (1)³ = 4 + 1 = 5

Since D > 0, use Cardano's formula: S = ∛(−(−4)/2 + √5) = ∛(2 + 2.236) = ∛4.236 ≈ 1.618

T = ∛(2 − 2.236) = ∛(−0.236) ≈ −0.618

First root: t₁ = S + T ≈ 1.618 + (−0.618) = 1.0

The other two roots are complex conjugates: t₂,₃ = −0.5 ± 1.658i

One real root x = 1. Two complex roots x ≈ −0.5 ± 1.658i. Verify: 1³ + 3(1) − 4 = 0 ✓.

So verwenden Sie den kubischen Gleichungsrechner

Geben Sie die vier Koeffizienten ein

Geben Sie Ihre Werte für a, b, c und d in die Eingabefelder auf der linken Seite ein. Diese entsprechen der Gleichung ax³ + bx² + cx + d = 0. Zum Beispiel, für die Gleichung x³ − 6x² + 11x − 6 = 0, geben Sie a = 1, b = −6, c = 11, d = −6 ein. Wenn ein Term fehlt (z. B. kein x²-Term), geben Sie 0 für diesen Koeffizienten ein. Die Vorschau der Gleichung wird live aktualisiert, während Sie tippen.

Überprüfen Sie die Gleichungsvorschau

Während Sie tippen, zeigt die Vorschau der Gleichung über den Eingaben die formatierte kubische Gleichung mit Ihren aktuellen Werten. Dies ermöglicht es Ihnen, zu bestätigen, dass die Gleichung korrekt eingegeben wurde, bevor Sie sie lösen. Sie können auch auf eines der schnellen Beispielvorgaben klicken, um eine bekannte Gleichung zu laden und zu sehen, wie der Löser funktioniert.

Ergebnisse lesen

Nachdem Sie Ihre Koeffizienten eingegeben haben, berechnet der Löser automatisch alle drei Wurzeln und zeigt sie rechts an. Jede Wurzel wird als dezimale Annäherung angezeigt. Komplexe Wurzeln werden in der Form a + bi dargestellt. Das Wurzeltagsymbol zeigt Ihnen an, ob Sie drei reelle Wurzeln, eine reelle und zwei komplexe Konjugate oder wiederholte Wurzeln haben. Der Wert des Diskriminanten und seine Interpretation werden unter den Wurzeln angezeigt.

Detaillierte Aufschlüsselung erkunden

Klicken Sie auf 'Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen', um die vollständige Ableitung von Ihren Koeffizienten zu den endgültigen Wurzeln zu sehen, einschließlich der depressiven Kubik, Zwischenwerte und welche Methode (Cardano oder trigonometrisch) verwendet wurde. Klicken Sie auf 'Vietas Überprüfung anzeigen', um zu bestätigen, dass die Wurzeln die klassischen Summen-, Produkt- und Produktbeziehungen erfüllen. Verwenden Sie 'CSV exportieren', um alle Ergebnisse herunterzuladen, oder 'Drucken' für eine druckerfreundliche Version.

Häufig gestellte Fragen

Hat eine kubische Gleichung immer mindestens eine reelle Wurzel?

Ja — jedes kubische Polynom mit reellen Koeffizienten hat mindestens eine reelle Wurzel. Dies folgt aus dem Zwischenwertsatz: Da eine kubische Funktion f(x) = ax³ + bx² + cx + d gegen +∞ strebt, wenn x → +∞ und gegen −∞, wenn x → −∞ (oder umgekehrt, wenn a < 0), muss die stetige Funktion die x-Achse mindestens einmal schneiden. Nach dem grundlegenden Satz der Algebra hat eine Kubik genau drei Wurzeln (gezählt mit Vielfachheit) in den komplexen Zahlen. Da komplexe Wurzeln reeller Polynome in konjugierten Paaren auftreten und drei minus zwei eins ergibt, gibt es immer mindestens eine reelle Wurzel.

Was sagt der Diskriminant über die Wurzeln aus?

Der Diskriminant Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d² ist eine einzelne Zahl, die die Natur aller drei Wurzeln klassifiziert, ohne die Gleichung zu lösen. Wenn Δ < 0, the equation has three distinct real roots (the curve crosses the x-axis three times). If Δ = 0, at least two roots are equal — either one double root and one single root, or one triple root. If Δ > 0, gibt es eine reelle Wurzel und zwei nicht-reelle komplexe konjugierte Wurzeln (die Kurve schneidet die x-Achse genau einmal). Der Diskriminant ist im Wesentlichen ein Polynom in den Koeffizienten, das aus dem Resultanten der Kubik und ihrer Ableitung berechnet wird.

Was ist die Formel von Cardano und wann wird sie verwendet?

Die Formel von Cardano ist die analytische Lösung für die depressive Kubik t³ + pt + q = 0, veröffentlicht von Gerolamo Cardano in Ars Magna (1545). Nachdem ax³ + bx² + cx + d = 0 durch die Substitution x = t − b/(3a) in die depressive Form reduziert wurde, berechnen Sie D = (q/2)² + (p/3)³. Wenn D > 0, gibt die Formel von Cardano: S = ∛(−q/2 + √D), T = ∛(−q/2 − √D). Dann t₁ = S + T, t₂ = −(S+T)/2 + i(S−T)√3/2, t₃ = −(S+T)/2 − i(S−T)√3/2. Wenn D ≤ 0 (drei reelle Wurzeln), erfordert die direkte Verwendung der Formel von Cardano, dass Kubikwurzeln von komplexen Zahlen genommen werden; die trigonometrische (Viète) Methode umgeht dies und wird stattdessen verwendet.

Warum wird die trigonometrische Methode für drei reelle Wurzeln benötigt?

Wenn der Diskriminant negativ ist (drei unterschiedliche reelle Wurzeln), führt die Formel von Cardano zu Zwischen-Kubikwurzeln von komplexen Zahlen, obwohl die endgültigen Antworten alle reell sind. Dies ist der 'casus irreducibilis' (irreduzibler Fall) — die Kubik kann nicht nur mit reeller Arithmetik im Rahmen von Cardano gelöst werden. Die trigonometrische Methode umgeht dies, indem sie die depressive Kubik in Bezug auf Kosinus schreibt: lassen Sie m = 2√(−p/3) und θ = (1/3)arccos(3q/(pm)). Die drei Wurzeln sind dann x₁ = m·cos(θ) − b/(3a), x₂ = m·cos(θ − 2π/3) − b/(3a), x₃ = m·cos(θ − 4π/3) − b/(3a). Diese Methode arbeitet vollständig mit reeller Arithmetik und ist numerisch stabil.

Was sind Vietas Formeln und wie überprüfen sie die Wurzeln?

Vietas Formeln drücken Beziehungen zwischen den Wurzeln r₁, r₂, r₃ und den Koeffizienten des Polynoms direkt aus. Für ax³ + bx² + cx + d = 0: die Summe r₁ + r₂ + r₃ = −b/a; die Summe der Wurzelpaare r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ = c/a; das Produkt r₁r₂r₃ = −d/a. Diese Beziehungen müssen für jede Menge von Wurzeln der Kubik gelten. Nachdem die Wurzeln berechnet wurden, überprüft der Löser alle drei Vieta-Bedingungen. Wenn die berechneten Werte mit den erwarteten Koeffizientenverhältnissen (innerhalb der Gleitkomma-Toleranz) übereinstimmen, bestätigt dies, dass die Wurzeln korrekt sind. Vietas Formeln sind nach dem französischen Mathematiker François Viète (1540–1603) benannt.

Kann dieser Löser Gleichungen mit gebrochenen oder negativen Koeffizienten behandeln?

Ja — der Löser akzeptiert beliebige reelle Zahlenkoeffizienten, einschließlich negativer Werte, Dezimalzahlen und Brüche (die als Dezimalzahlen eingegeben werden). Zum Beispiel, um 0.5x³ − 1.5x² + 1.5x − 0.5 = 0 zu lösen, geben Sie a = 0.5, b = −1.5, c = 1.5, d = −0.5 ein. Die einzige Einschränkung ist, dass a nicht null sein darf. Wenn Sie gebrochene Koeffizienten wie 3/4 haben, konvertieren Sie sie in ihren dezimalen Äquivalent (0.75), bevor Sie sie eingeben. Bei sehr großen oder sehr kleinen Koeffizientenwerten können Sie geringfügige Gleitkomma-Rundungsfehler in der letzten angezeigten Ziffer sehen — dies ist normal für 64-Bit-Arithmetik und beeinträchtigt nicht die praktische Genauigkeit des Ergebnisses.