Algebra Rechner - Free Online Tool

Löse, vereinfache, faktorisierte und erweitere algebraische Ausdrücke mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Willkommen zu unserem kostenlosen Algebra Rechner, einem leistungsstarken browserbasierten Tool zur Lösung von Algebra-Problemen in fünf Hauptkategorien: Gleichungslösung, Ausdrucksvereinfachung, Polynomfaktorisierung, Ausdruckserweiterung und 2×2 Gleichungssysteme. Egal, ob du ein Schüler bist, der Hausaufgaben macht, ein Lehrer, der Beispiele vorbereitet, oder ein Fachmann, der schnelle algebraische Berechnungen benötigt — dieser Rechner bietet sofortige Lösungen mit Schritt-für-Schritt-Erklärungen.

Algebra verstehen

Was sind lineare und quadratische Gleichungen?

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, bei der die Variable nur in der ersten Potenz erscheint (kein x², x³ usw.). Sie hat die Standardform ax + b = c und hat genau eine Lösung: x = (c - b) / a. Lineare Gleichungen modellieren Beziehungen mit konstantem Satz — Probleme mit Abstand, Kosten, Zeit und einfachem Zins. Eine quadratische Gleichung hat die Variable in der zweiten Potenz als höchsten Grad: ax² + bx + c = 0. Sie kann null, eine oder zwei reelle Lösungen haben, abhängig vom Wert des Diskriminanten (b² - 4ac). Quadratische Gleichungen modellieren parabolische Beziehungen, einschließlich der Bewegung von Projektilen, Flächenprobleme und Optimierung. Die Mitternachtsformel x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a gibt die Lösungen direkt für jede quadratische Gleichung.

Wie funktioniert der Rechner?

Der Rechner verwendet einen benutzerdefinierten algebraischen Parser, der mathematische Ausdrücke tokenisiert und auswertet. Für das Lösen von Gleichungen identifiziert er den Gleichungstyp (linear oder quadratisch), indem er den höchsten Gradterm erkennt, und wendet dann die entsprechende Lösungsmethode an. Lineare Gleichungen werden gelöst, indem die Variable durch inverse Operationen isoliert wird: Konstanten auf eine Seite verschieben und durch den Koeffizienten der Variablen teilen. Quadratische Gleichungen werden mit der Mitternachtsformel gelöst. Für die Faktorisierung identifiziert der Rechner das Faktorisierungsmuster (Differenz von Quadraten, perfektes quadratisches Trinom oder allgemeine Quadratische) und wendet die entsprechende Technik an. Für Gleichungssysteme verwendet er Substitution: eine Gleichung nach einer Variablen lösen und in die zweite einsetzen. Schritt-für-Schritt-Regeln werden bei jeder Transformation aufgezeichnet.

Warum algebraische Fähigkeiten wichtig sind

Algebra ist das Tor zu allen höheren Mathematiken und quantitativen Wissenschaften. Das Lösen von Gleichungen ist grundlegend für jedes Problem, bei dem eine unbekannte Größe aus bekannten Beziehungen gefunden werden muss — das Berechnen des Break-even-Punkts in einem Geschäftsmodell, das Finden der Zeit, bis sich zwei bewegende Objekte treffen, das Bestimmen der Abmessungen einer Form, gegeben ihrer Fläche, oder das Finden von Konzentrationen in einem chemischen Mischproblem. Faktorisierung und das Arbeiten mit Polynomen sind grundlegende Kenntnisse für die Analysis, wo Differenzierung und Integration von polynomialen Funktionen grundlegende Operationen sind. Gleichungssysteme werden in der gesamten Wirtschaft (Angebots- und Nachfragegleichgewicht), im Ingenieurwesen (Schaltungsanalyse) und in der Datenwissenschaft (lineare Regression und Optimierung) verwendet. Die Entwicklung von Flüssigkeit in der algebraischen Manipulation ist eine der rentabelsten Investitionen in die mathematische Ausbildung.

Umfang und Einschränkungen

Dieser Rechner behandelt lineare Gleichungen, quadratische Gleichungen, lineare Ungleichungen, polynomiale Vereinfachung, grundlegende Faktorisierung (quadratische und lineare Polynome), Erweiterung von Binom- und Polynomprodukten sowie 2×2 lineare Systeme. Er behandelt keine kubischen oder höhergradigen polynomialen Gleichungen (Grad 3+), partielle Bruchzerlegungen, Matrixoperationen über 2×2 Systeme hinaus, Differentialgleichungen, symbolische Integration oder Differenzierung oder trigonometrische und logarithmische Gleichungen. Komplexe Zahlenwurzeln (wenn der Diskriminant negativ ist) werden identifiziert, aber nicht numerisch berechnet. Für Ausdrücke, die nicht geparst werden können oder außerhalb des unterstützten Umfangs liegen, wird eine Fehlermeldung angezeigt, und die Eingabe kann mit den Beispielchips als Leitfaden für gültige Eingabeformate verfeinert werden.

Key Algebra Formulas

Linear Equation Solution

ax + b = 0 → x = −b/a

A linear equation in one variable is solved by isolating x: subtract the constant from both sides and divide by the coefficient of x.

Difference of Squares

a² − b² = (a + b)(a − b)

Any binomial that is the difference of two perfect squares factors into the product of their sum and their difference. This is one of the most commonly used factoring identities.

Perfect Square Trinomial

a² ± 2ab + b² = (a ± b)²

A trinomial where the first and last terms are perfect squares and the middle term is twice the product of their square roots factors into a binomial squared.

FOIL Method (Binomial Product)

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

To expand the product of two binomials, multiply the First, Outer, Inner, and Last terms, then combine like terms.

Algebra Reference Tables

Common Algebraic Identities

Essential identities used in factoring, expanding, and simplifying algebraic expressions.

Identity Name	Formel
Difference of Squares	a² − b² = (a + b)(a − b)
Perfect Square (sum)	a² + 2ab + b² = (a + b)²
Perfect Square (diff)	a² − 2ab + b² = (a − b)²
Sum of Cubes	a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
Difference of Cubes	a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Binomial Expansion	(a + b)² = a² + 2ab + b²
Quadratic Formula	x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a

Exponent Rules Reference

Rules governing operations with exponents, essential for simplifying algebraic expressions.

Regel	Formel	Example
Product Rule	xᵃ · xᵇ = xᵃ⁺ᵇ	x³ · x² = x⁵
Quotient Rule	xᵃ / xᵇ = xᵃ⁻ᵇ	x⁵ / x² = x³
Power Rule	(xᵃ)ᵇ = xᵃᵇ	(x²)³ = x⁶
Zero Exponent	x⁰ = 1	5⁰ = 1
Negative Exponent	x⁻ᵃ = 1/xᵃ	x⁻² = 1/x²
Distributive Power	(xy)ᵃ = xᵃyᵃ	(2x)³ = 8x³

Worked Examples

Factor x² − 5x + 6

Factor the quadratic trinomial x² − 5x + 6 into two binomials.

Find two numbers that multiply to +6 and add to −5

The numbers are −2 and −3 (since (−2)(−3) = 6 and (−2) + (−3) = −5)

Write the factored form: (x − 2)(x − 3)

Verify by expanding: x² − 3x − 2x + 6 = x² − 5x + 6 ✓

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)

Expand (2x + 3)(x − 4) Using FOIL

Use the FOIL method to expand the product of two binomials.

First: 2x · x = 2x²

Outer: 2x · (−4) = −8x

Inner: 3 · x = 3x

Last: 3 · (−4) = −12

Combine like terms: 2x² − 8x + 3x − 12 = 2x² − 5x − 12

(2x + 3)(x − 4) = 2x² − 5x − 12

Solve 3x + 7 = 22

Solve the linear equation 3x + 7 = 22 for x using inverse operations.

Subtract 7 from both sides: 3x + 7 − 7 = 22 − 7

Simplify: 3x = 15

Divide both sides by 3: x = 15 / 3

Simplify: x = 5

x = 5. Verify: 3(5) + 7 = 15 + 7 = 22 ✓

So verwenden Sie den Algebra-Rechner

Wählen Sie Ihren Berechnungsmodus

Wählen Sie aus fünf Modi: Lösen (für Gleichungen wie 2x + 5 = 13 oder x^2 - 4 = 0), Vereinfachen (um Ausdrücke auf die einfachste Form zu reduzieren), Faktorisieren (um Polynome wie x^2 + 5x + 6 in Faktoren zu zerlegen), Erweitern (um Produkte wie (x+3)(x-2) zu verteilen) oder Systeme (um zwei simultane lineare Gleichungen zu lösen). Der Modus bestimmt, wie der Ausdruck interpretiert und verarbeitet wird.

Geben Sie Ihren Ausdruck ein

Geben Sie Ihren mathematischen Ausdruck unter Verwendung der Standardnotation ein. Verwenden Sie * für Multiplikation (z. B. 2*x), ^ für Exponenten (z. B. x^2) und sqrt() für Quadratwurzeln. Verwenden Sie =, um eine Gleichung zu schreiben. Klicken Sie auf die Symbolschaltflächen unter dem Eingabefeld, um Sonderzeichen einzufügen, oder klicken Sie auf eines der Beispielchips, um einen Beispielausdruck für diesen Modus zu laden.

Überprüfen Sie die Lösung

Die Antwort erscheint sofort oben im Ergebnisfeld. Bei quadratischen Gleichungen zeigt der Abschnitt zur Wurzelanalyse den Wert der Diskriminante und klassifiziert die Wurzeln (zwei reelle, eine reelle oder keine reellen Wurzeln). Ein Formelreferenzfeld zeigt alle angewandten Formeln an. Bei Ungleichungen zeigt eine Visualisierung auf der Zahlenlinie die Lösungsmenge grafisch an.

Schritt-für-Schritt-Lösung erweitern

Klicken Sie auf das Akkordeon Schritt-für-Schritt-Lösung, um jede Transformation zu sehen, die angewendet wurde, um zur Antwort zu gelangen, wobei die algebraische Regel bei jedem Schritt identifiziert wird. Verwenden Sie dies, um den Lösungsprozess zu lernen oder Ihre eigenen manuellen Arbeiten zu überprüfen. Exportieren Sie die Lösung als CSV, um den Ausdruck, die Antwort und die Schritt-für-Schritt-Aufschlüsselung zu speichern, oder kopieren Sie die Antwort direkt in Ihre Zwischenablage.

Häufig gestellte Fragen

Wie gebe ich eine quadratische Gleichung ein?

Geben Sie quadratische Gleichungen im Modus Lösen im Format ax^2 + bx + c = 0 ein. Zum Beispiel: x^2 - 5x + 6 = 0 oder 2x^2 + 3x - 2 = 0. Verwenden Sie das ^-Symbol für Exponenten – Sie können die ^-Taste in der Symbolleiste klicken oder es direkt eingeben. Sie können auch eine quadratische Gleichung eingeben, die umgestellt wurde, wie x^2 = 4 oder x^2 + 2x = 8, und der Rechner wird sie vor der Lösung in die Standardform umstellen. Der Rechner zeigt die Diskriminante an, klassifiziert den Wurzeltyp (zwei reelle Wurzeln, eine wiederholte Wurzel oder keine reellen Wurzeln) und zeigt beide Werte von x an, wenn reelle Lösungen existieren.

Was ist die quadratische Formel und wann wird sie verwendet?

Die quadratische Formel ist x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a), wobei a, b und c die Koeffizienten der quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0 sind. Sie wird verwendet, wenn eine quadratische Gleichung nicht leicht faktorisierbar ist oder wenn Sie exakte Lösungen benötigen. Der Ausdruck b² - 4ac unter der Quadratwurzel wird als Diskriminante bezeichnet. Wenn die Diskriminante positiv ist, gibt es zwei verschiedene reelle Wurzeln. Wenn sie null ist, gibt es eine wiederholte Wurzel (x = -b/2a). Wenn die Diskriminante negativ ist, gibt es keine reellen Wurzeln – die Lösungen sind komplex (mit der imaginären Zahl i). Die quadratische Formel funktioniert für jede quadratische Gleichung, unabhängig davon, ob sie sich gut faktorisieren lässt.

Wie löse ich ein System von zwei Gleichungen?

Wechseln Sie in den Modus Systeme, geben Sie die erste Gleichung im Haupt-Eingabefeld ein (z. B. 2x + y = 10) und die zweite Gleichung im Feld Gleichung 2 (z. B. x - y = 2). Der Rechner löst das System mithilfe der Substitution: Er isoliert eine Variable aus einer Gleichung und setzt sie in die andere ein. Das Ergebnis zeigt die Werte von sowohl x als auch y, die beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Ein System hat eine eindeutige Lösung, wenn die beiden durch die Gleichungen dargestellten Linien sich an genau einem Punkt schneiden, keine Lösung, wenn die Linien parallel sind, und unendlich viele Lösungen, wenn die beiden Gleichungen die gleiche Linie darstellen.

Was bedeutet das Faktorisieren eines Polynoms?

Das Faktorisieren eines Polynoms bedeutet, es als Produkt einfacherer polynomialer Faktoren auszudrücken. Zum Beispiel faktorisiert x² + 5x + 6 in (x + 2)(x + 3), da das Multiplizieren dieser Binome den ursprünglichen Ausdruck zurückgibt. Faktorisieren ist das Gegenteil von Erweitern. Es ist nützlich zum Lösen polynomialer Gleichungen (setzen Sie jeden Faktor gleich null, um die Wurzeln zu finden), zum Vereinfachen rationaler Ausdrücke (gemeinsame Faktoren aus Zähler und Nenner kürzen) und zum Verständnis des Verhaltens polynomialer Funktionen. Der Rechner verarbeitet quadratische Trinome, Differenzen von Quadraten (a² - b² = (a+b)(a-b)) und lineare Ausdrücke. Geben Sie Ihr Polynom im Modus Faktorisieren ein, und der Rechner gibt die faktorisierte Form mit Schritt-für-Schritt-Erklärung zurück.

Was ist der Unterschied zwischen Vereinfachen und Erweitern?

Vereinfachen reduziert einen Ausdruck auf seine kompakteste äquivalente Form, indem ähnliche Terme kombiniert, Brüche reduziert und Arithmetik angewendet wird. Zum Beispiel vereinfacht sich 3x + 2x - 4 zu 5x - 4. Erweitern nimmt einen Ausdruck in faktorisierter oder Produktform und verteilt die Multiplikation, um ihn in eine Summe von Termen zu konvertieren. Zum Beispiel erweitert sich (x + 3)(x - 2) zu x² + x - 6 unter Verwendung der FOIL-Methode (First, Outer, Inner, Last). Sie sind inverse Operationen: Faktorisieren ist das Gegenteil von Erweitern, und die Vereinfachung reduziert die Komplexität eines bereits erweiterten Ausdrucks. Verwenden Sie den Modus Vereinfachen, um Ausdrücke zu reduzieren, die bereits als Summen und Differenzen geschrieben sind. Verwenden Sie den Modus Erweitern, um Produkte von Binomen oder Polynomen zu verteilen.

Wie werden lineare Ungleichungen anders gelöst als Gleichungen?

Lineare Ungleichungen werden mit denselben inversen Operationen wie lineare Gleichungen gelöst, mit einem entscheidenden Unterschied: Wenn Sie beide Seiten mit einer negativen Zahl multiplizieren oder dividieren, kehrt sich die Richtung der Ungleichheit um. Zum Beispiel erfordert das Lösen von -2x > 8 das Teilen durch -2, was das > in < umkehrt. Es gibt offene Kreise für strikte Ungleichheiten (< oder >), wo der Grenzwert nicht enthalten ist, und geschlossene Kreise für nicht-strikte Ungleichheiten (≤ oder ≥), wo der Grenzwert in der Lösung enthalten ist.