أدخل قيم المصفوفة للبدء
اختر علامة عملية، أدخل القيم في مصفوفة A (و B إذا لزم الأمر)، ثم انقر على حساب لرؤية النتيجة مع حلول خطوة بخطوة.
كيفية استخدام آلة حاسبة المصفوفات
اختر فئة العملية
انقر على أحد الأربعة علامات في الأعلى - مصفوفتان (لـ A+B، A-B، A×B، c×A)، مصفوفة واحدة (لـ التحويل، المحدد، المعكوس، القوة، الأثر)، التحليل (لـ الرتبة، RREF، القيم الذاتية، LU)، أو حل Ax=b. ستظهر لوحة الإدخال فقط عناصر التحكم التي تحتاجها.
قم بتعيين أبعاد المصفوفة وأدخل القيم
استخدم القوائم المنسدلة للصفوف والأعمدة بجوار كل تسمية مصفوفة لتعيين الأبعاد (1×1 إلى 5×5). انقر على كل خلية واكتب قيمة - يتم قبول الأعداد العشرية والكسور مثل 1/3 أو -2.5. استخدم زر العشوائي لملء القيم تلقائيًا بأعداد صحيحة تجريبية، أو قم بتحميل إعداد سريع مثل دوران 2×2 أو مربع سحري 3×3.
اختر العملية المحددة وانقر على حساب
انقر على زر العملية الذي يظهر أسفل شبكات المصفوفات - على سبيل المثال، A + B، المحدد، أو RREF. تظهر النتيجة على الفور على اليمين. تعطي لوحة "ماذا يعني هذا؟" أسفل النتيجة شرحًا باللغة الإنجليزية العادية للمعنى الرياضي للنتيجة.
مراجعة الخطوات، تصدير، أو ربط العمليات
إذا كانت العمليات الصفية خطوة بخطوة متاحة (RREF، النظام الخطي)، انقر على طية الخطوات لرؤية كل محور وحركة إلغاء. استخدم "تصدير CSV" لتنزيل مصفوفة النتيجة، "نسخ LaTeX" للمستندات الأكاديمية، أو "نسخ النتيجة → مصفوفة A" لإدخال النتيجة في حساب جديد.
الأسئلة الشائعة
لماذا لا يمكنني ضرب مصفوفتين بأبعاد غير متطابقة؟
يتم تعريف ضرب المصفوفات A×B فقط عندما يساوي عدد الأعمدة في A عدد الصفوف في B. وذلك لأن العملية تحسب كل إدخال نتيجة كمنتج نقطي لصف من A مع عمود من B - مما يتطلب أن يكون للصف والعمود نفس الطول. إذا كانت A مصفوفة m×p و B مصفوفة p×n، فإن النتيجة C هي m×n. إذا كانت aCols ≠ bRows، فإن المنتج النقطي غير معرف ولا يمكن أن تستمر العملية. هذا يتناقض مع الجمع، حيث يجب أن تكون كلا المصفوفتين لهما أبعاد متطابقة (كلاهما m×n) حتى يمكن اقتران الإدخالات عنصرًا بعنصر.
ماذا يعني عندما يكون المحدد 0؟
يعني المحدد الصفري أن المصفوفة مفردة - لا تحتوي على معكوس. هندسيًا، تقوم التحويل الخطي بضغط الفضاء: التحويل ثنائي الأبعاد مع det=0 ينهار المستوى إلى خط أو نقطة، مما يدمر المعلومات. جبريًا، إذا كان det(A)=0، فإن صفوف A تعتمد خطيًا (بعض الصفوف هي تركيبة خطية من الصفوف الأخرى)، ونظام Ax=b إما ليس له حل أو له عدد لا نهائي من الحلول - أبداً حل فريد. ستكون الرتبة أقل من n. لهذا السبب تظهر الآلة الحاسبة خطأ ("مصفوفة مفردة") عندما تحاول عكس مصفوفة ذات محدد صفري.
ما الفرق بين الرتبة و RREF والمحدد؟
تصف هذه المخرجات الثلاثة جوانب مختلفة من نفس المصفوفة. الرتبة هي عدد صحيح واحد - عدد الصفوف (أو الأعمدة) المستقلة خطيًا، يتم العثور عليها عن طريق عد الصفوف غير الصفرية في RREF. RREF (شكل الصف المخفض) هو المصفوفة المخفضة الكاملة نفسها، تظهر بالضبط أي المتغيرات أساسية (تحددها المحاور) وأيها حرة (يمكن تعيينها بشكل عشوائي). المحدد هو عدد قياسي واحد يتم تعريفه فقط للمصفوفات المربعة؛ يساوي صفرًا بالضبط عندما تكون الرتبة < n. تنطبق الرتبة على أي شكل مصفوفة؛ تنطبق RREF على أي مصفوفة؛ يتطلب المحدد مصفوفة مربعة. معًا، يميزون فضاء الحل لـ Ax=0 و Ax=b بشكل كامل.
كيف يتم حساب القيم الذاتية للمصفوفات الأكبر من 2×2؟
بالنسبة للمصفوفات 2×2، يتم حساب القيم الذاتية في شكل مغلق باستخدام صيغة تربيعية على كثير الحدود المميز λ² − tr(A)λ + det(A) = 0. بالنسبة للمصفوفات من 3×3 إلى 5×5، تستخدم هذه الآلة الحاسبة خوارزمية تكرار QR، وهي الطريقة العددية القياسية المستخدمة في برامج الجبر الخطي الاحترافية. يقوم تكرار QR بتفكيك المصفوفة بشكل متكرر كـ Q×R (عمودي مضروب في مثلث علوي) ويستبدلها بـ R×Q، متقاربًا نحو شكل مثلث علوي تكون مدخلاته القطرية هي القيم الذاتية. تستمر العملية حتى 500 تكرار مع تحمل التقارب 1e-8. تظهر القيم الذاتية المعقدة (من المصفوفات ذات المدخلات الحقيقية التي تحتوي على أزواج قيم ذاتية مترافقة معقدة) للمصفوفات 2×2 في شكل a + bi و a − bi.
ما هو استخدام تحليل LU؟
يقوم تحليل LU بتفكيك المصفوفة A إلى حاصل ضرب مصفوفة مثلثية سفلية L (مع 1s على القطر) ومصفوفة مثلثية علوية U. الاستخدام العملي الرئيسي هو حل Ax=b بكفاءة بشكل متكرر: بمجرد أن تكون A = LU، يتطلب حل أي جانب أيمن b خطوتين من الاستبدال المثلثي - الاستبدال الأمامي من خلال Ly=b ثم الاستبدال العكسي من خلال Ux=y - كل منهما يستغرق فقط O(n²) عمليات. هذا أسرع بكثير من إعادة حساب التفكيك الكامل في كل مرة. يساوي محدد A حاصل ضرب المدخلات القطرية لـ U (ضرب الإشارة من أي تبديلات صفوف أثناء المحاور الجزئية). تحليل LU هو الخوارزمية التي تستند إليها معظم مكتبات الحوسبة العلمية لحل الأنظمة الخطية.
ما هي مصفوفات الأمثلة المحددة ولماذا هي مفيدة؟
تتضمن الآلة الحاسبة أربعة إعدادات مسبقة للتجريب السريع. تقوم مصفوفة دوران 2×2 [[0,-1],[1,0]] بتدوير المتجهات 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة - مفيدة لتعلم كيفية تنفيذ ضرب المصفوفات للدورات. تحتوي المصفوفة السحرية 3×3 على صفوف وأعمدة وقطريين جميعهم يجمعون إلى 15، ولها محدد قدره -360 ورقم رتبة 3. مصفوفة الهوية 3×3 هي العنصر المحايد لضرب المصفوفات: A×I = I×A = A لأي A متوافقة. تعطي مصفوفة فيبوناتشي 2×2 [[1,1],[1,0]] المرفوعة إلى القوة n الرقم فيبوناتشي nth في الموضع [0][0] - عرض جميل لقوى المصفوفات. قم بتحميل أي إعداد مسبق، ثم قم بتعديل القيم لاستكشاف كيفية تغير النتائج.