محلل المعادلات التكعيبية
ابحث عن جميع الجذور الثلاثة لـ ax³ + bx² + cx + d = 0 على الفور
معاينة المعادلة
x³ − 6x² + 11x − 6 = 0
المعامل الرائد — يجب ألا يكون صفرًا
أمثلة سريعة
أدخل المعاملات لحل
أدخل المعاملات الأربعة a و b و c و d لمعادلتك التكعيبية ax³ + bx² + cx + d = 0 للعثور على جميع الجذور الثلاثة على الفور.
كيفية استخدام محلل المعادلات التكعبية
أدخل المعاملات الأربعة
اكتب قيمك لـ a و b و c و d في حقول الإدخال على اليسار. هذه تتوافق مع المعادلة ax³ + bx² + cx + d = 0. على سبيل المثال، للمعادلة x³ − 6x² + 11x − 6 = 0، أدخل a = 1، b = −6، c = 11، d = −6. إذا كان هناك حد مفقود (مثل عدم وجود حد x²)، أدخل 0 لذلك المعامل. يتم تحديث معاينة المعادلة مباشرة أثناء الكتابة.
مراجعة معاينة المعادلة
أثناء الكتابة، يظهر معاينة المعادلة أعلاه المدخلات المعادلة التكعيبية المنسقة مع قيمك الحالية. هذا يسمح لك بتأكيد إدخال المعادلة بشكل صحيح قبل الحل. يمكنك أيضًا النقر على أحد إعدادات الأمثلة السريعة لتحميل معادلة معروفة ورؤية كيفية عمل المحلل.
قراءة النتائج
بعد إدخال معاملاتك، يقوم المحلل تلقائيًا بحساب الجذور الثلاثة ويعرضها على اليمين. يتم عرض كل جذر كتقريب عشري. يتم عرض الجذور المركبة في شكل a + bi. تخبرك شارة نوع الجذر ما إذا كان لديك ثلاثة جذور حقيقية، جذر حقيقي واحد واثنان من الجذور المركبة المترافقة، أو جذور مكررة. يتم عرض قيمة المميز وتفسيرها أسفل الجذور.
استكشاف التحليل التفصيلي
انقر على "عرض الحل خطوة بخطوة" لرؤية الاشتقاق الكامل من معاملاتك إلى الجذور النهائية، بما في ذلك التكعيب المنخفض، والقيم الوسيطة، وأي طريقة (كاردانو أو مثلثية) تم استخدامها. انقر على "عرض تحقق فييتا" لتأكيد أن الجذور تلبي مجموع الكلاسيكي، ومجموع المنتجات، وعلاقات المنتج. استخدم "تصدير CSV" لتنزيل جميع النتائج، أو "طباعة" للحصول على نسخة مناسبة للطباعة.
الأسئلة الشائعة
هل تحتوي المعادلة التكعيبية دائمًا على جذر حقيقي واحد على الأقل؟
نعم - كل كثير حدود تكعيبي بمعاملات حقيقية يحتوي على جذر حقيقي واحد على الأقل. هذا يتبع من نظرية القيمة الوسيطة: نظرًا لأن دالة تكعيبية f(x) = ax³ + bx² + cx + d تقترب من +∞ عندما x → +∞ و −∞ عندما x → −∞ (أو العكس عندما a < 0)، يجب أن تعبر الدالة المستمرة المحور السيني على الأقل مرة واحدة. وفقًا لنظرية الجبر الأساسية، تحتوي المعادلة التكعيبية على ثلاثة جذور بالضبط (محسوبة مع التكرار) في الأعداد المركبة. نظرًا لأن الجذور المركبة لكثيرات الحدود الحقيقية تأتي في أزواج مترافقة، وثلاثة ناقص اثنان يساوي واحد، هناك دائمًا جذر حقيقي واحد على الأقل.
ماذا يخبرني المميز عن الجذور؟
المميز Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d² هو رقم واحد يصنف طبيعة جميع الجذور الثلاثة دون حل المعادلة. إذا كان Δ < 0, the equation has three distinct real roots (the curve crosses the x-axis three times). If Δ = 0, at least two roots are equal — either one double root and one single root, or one triple root. If Δ > 0، فهناك جذر حقيقي واحد واثنان من الجذور المركبة غير الحقيقية المترافقة (تقطع المنحنى المحور السيني مرة واحدة بالضبط). المميز هو في الأساس كثير حدود في المعاملات، يتم حسابه من ناتج التكعيب ومشتقته.
ما هي صيغة كاردانو ومتى تستخدم؟
صيغة كاردانو هي الحل التحليلي للتكعيب المنخفض t³ + pt + q = 0، الذي نشره جيرولامو كاردانو في Ars Magna (1545). بعد تقليل ax³ + bx² + cx + d = 0 إلى الشكل المنخفض عبر الاستبدال x = t − b/(3a)، احسب D = (q/2)² + (p/3)³. عندما D > 0، تعطي صيغة كاردانو: S = ∛(−q/2 + √D)، T = ∛(−q/2 − √D). ثم t₁ = S + T، t₂ = −(S+T)/2 + i(S−T)√3/2، t₃ = −(S+T)/2 − i(S−T)√3/2. عندما D ≤ 0 (ثلاثة جذور حقيقية)، يتطلب استخدام صيغة كاردانو مباشرة أخذ الجذور التكعيبية للأعداد المركبة؛ تتجنب الطريقة المثلثية (فييتا) ذلك وتستخدم بدلاً من ذلك.
لماذا تحتاج الطريقة المثلثية لثلاثة جذور حقيقية؟
عندما يكون المميز سالبًا (ثلاثة جذور حقيقية متميزة)، تؤدي صيغة كاردانو إلى جذور تكعيبية وسيطة من الأعداد المركبة على الرغم من أن الإجابات النهائية كلها حقيقية. هذه هي "الحالة غير القابلة للاختزال" - لا يمكن حل التكعيب باستخدام الحساب الحقيقي فقط في إطار كاردانو. تتجاوز الطريقة المثلثية ذلك من خلال كتابة التكعيب المنخفض من حيث جيب التمام: دع m = 2√(−p/3) و θ = (1/3)arccos(3q/(pm)). ثم تكون الجذور الثلاثة x₁ = m·cos(θ) − b/(3a)، x₂ = m·cos(θ − 2π/3) − b/(3a)، x₃ = m·cos(θ − 4π/3) − b/(3a). تعمل هذه الطريقة بالكامل مع الحساب الحقيقي وهي مستقرة عدديًا.
ما هي صيغ فييتا وكيف تتحقق من الجذور؟
تعبر صيغ فييتا عن العلاقات بين الجذور r₁، r₂، r₃ ومعاملات كثير الحدود مباشرة. بالنسبة لـ ax³ + bx² + cx + d = 0: مجموع r₁ + r₂ + r₃ = −b/a؛ مجموع أزواج الجذور r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ = c/a؛ المنتج r₁r₂r₃ = −d/a. يجب أن تنطبق هذه العلاقات على أي مجموعة من الجذور التكعيبية. بعد حساب الجذور، يتحقق المحلل من جميع شروط فييتا الثلاثة. إذا تطابقت القيم المحسوبة مع النسب المتوقعة للمعاملات (ضمن تحمل النقطة العائمة)، فإنها تؤكد أن الجذور صحيحة. سميت صيغ فييتا على اسم عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت (1540–1603).
هل يمكن لهذا المحلل التعامل مع المعادلات ذات المعاملات الكسرية أو السلبية؟
نعم - يقبل المحلل أي معاملات أعداد حقيقية، بما في ذلك القيم السلبية، والأرقام العشرية، والكسور (مدخلة كأرقام عشرية). على سبيل المثال، لحل 0.5x³ − 1.5x² + 1.5x − 0.5 = 0، أدخل a = 0.5، b = −1.5، c = 1.5، d = −0.5. القيد الوحيد هو أنه يجب ألا يكون a صفرًا. إذا كان لديك معاملات كسرية مثل 3/4، قم بتحويلها إلى مكافئها العشري (0.75) قبل الإدخال. بالنسبة لقيم المعاملات الكبيرة جدًا أو الصغيرة جدًا، قد ترى تقريبات طفيفة في الرقم المعروض الأخير - هذا طبيعي لحسابات 64 بت ولا يؤثر على الدقة العملية للنتيجة.