代数計算機 - Free Online Tool

ステップバイステップの解法で代数式を解き、簡略化し、因数分解し、展開します。

無料の代数計算機へようこそ。これは、方程式の解法、式の簡略化、多項式の因数分解、式の展開、2×2の方程式系の解法の5つの主要カテゴリーにわたる代数問題を解決するための強力なブラウザベースのツールです。宿題の問題に取り組む学生、例を準備する教師、迅速な代数計算が必要な専門家のいずれであっても、この計算機はステップバイステップの説明とともに即座に解決策を提供します。

代数の理解

線形方程式と二次方程式とは？

線形方程式は、変数が1次のみに現れる方程式です（x²、x³などは含まれません）。標準形はax + b = cで、解は正確に1つです：x = (c - b) / a。線形方程式は、定常速度の関係をモデル化します — 距離、コスト、時間、単純利息の問題です。二次方程式は、変数が最高次数2の形を持ちます：ax² + bx + c = 0。判別式（b² - 4ac）の値に応じて、0、1、または2つの実数解を持つことができます。二次方程式は、放物線的な関係をモデル化し、投射運動、面積問題、最適化を含みます。二次方程式の公式x = [-b ± √(b² - 4ac)]は、任意の二次方程式の解を直接与えます。

計算機はどのように機能しますか？

計算機は、数学的表現をトークン化して評価するカスタム代数パーサーを使用しています。方程式を解くために、最高次数の項を検出して方程式のタイプ（線形または二次）を特定し、適切な解法を適用します。線形方程式は、逆操作を通じて変数を孤立させることによって解かれます：定数を一方に移動し、変数の係数で割ります。二次方程式は、二次方程式の公式を使用して解かれます。因数分解の場合、計算機は因数分解のパターン（平方の差、完全平方三項式、または一般的な二次式）を特定し、対応する技術を適用します。方程式の系の場合、代入法を使用します：1つの方程式を1つの変数について解き、2つ目に代入します。各変換でステップバイステップのルールが記録されます。

なぜ代数スキルが重要なのか

代数は、すべての高度な数学と定量的科学への入り口です。方程式を解くことは、未知の量を既知の関係から見つけなければならない問題にとって基本的です — ビジネスモデルにおける損益分岐点の計算、2つの動く物体が出会うまでの時間の計算、面積が与えられた形の寸法を決定すること、または化学の混合問題における濃度を見つけることなどです。因数分解と多項式の操作は、微積分の前提知識であり、多項式関数の微分と積分は基礎的な操作です。方程式の系は、経済学（供給と需要の均衡）、工学（回路分析）、データサイエンス（線形回帰と最適化）全体で使用されます。代数的操作の流暢さを構築することは、数学教育における最も高いリターンの投資の1つです。

範囲と制限

この計算機は、線形方程式、二次方程式、線形不等式、多項式の簡略化、基本的な因数分解（二次および線形多項式）、二項式および多項式の積の展開、2×2の線形系を処理します。3次以上の多項式方程式（次数3以上）、部分分数分解、2×2系を超える行列操作、微分方程式、記号的な積分または微分、三角関数および対数方程式は処理しません。複素数の根（判別式が負の場合）は特定されますが、数値的には計算されません。解析できない式やサポートされていない範囲の式については、エラーメッセージが表示され、入力は有効な入力形式のガイドとして例のチップを使用して洗練できます。

Key Algebra Formulas

Linear Equation Solution

ax + b = 0 → x = −b/a

A linear equation in one variable is solved by isolating x: subtract the constant from both sides and divide by the coefficient of x.

Difference of Squares

a² − b² = (a + b)(a − b)

Any binomial that is the difference of two perfect squares factors into the product of their sum and their difference. This is one of the most commonly used factoring identities.

Perfect Square Trinomial

a² ± 2ab + b² = (a ± b)²

A trinomial where the first and last terms are perfect squares and the middle term is twice the product of their square roots factors into a binomial squared.

FOIL Method (Binomial Product)

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

To expand the product of two binomials, multiply the First, Outer, Inner, and Last terms, then combine like terms.

Algebra Reference Tables

Common Algebraic Identities

Essential identities used in factoring, expanding, and simplifying algebraic expressions.

Identity Name	式
Difference of Squares	a² − b² = (a + b)(a − b)
Perfect Square (sum)	a² + 2ab + b² = (a + b)²
Perfect Square (diff)	a² − 2ab + b² = (a − b)²
Sum of Cubes	a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
Difference of Cubes	a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Binomial Expansion	(a + b)² = a² + 2ab + b²
Quadratic Formula	x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a

Exponent Rules Reference

Rules governing operations with exponents, essential for simplifying algebraic expressions.

ルール	式	Example
Product Rule	xᵃ · xᵇ = xᵃ⁺ᵇ	x³ · x² = x⁵
Quotient Rule	xᵃ / xᵇ = xᵃ⁻ᵇ	x⁵ / x² = x³
Power Rule	(xᵃ)ᵇ = xᵃᵇ	(x²)³ = x⁶
Zero Exponent	x⁰ = 1	5⁰ = 1
Negative Exponent	x⁻ᵃ = 1/xᵃ	x⁻² = 1/x²
Distributive Power	(xy)ᵃ = xᵃyᵃ	(2x)³ = 8x³

Worked Examples

Factor x² − 5x + 6

Factor the quadratic trinomial x² − 5x + 6 into two binomials.

Find two numbers that multiply to +6 and add to −5

The numbers are −2 and −3 (since (−2)(−3) = 6 and (−2) + (−3) = −5)

Write the factored form: (x − 2)(x − 3)

Verify by expanding: x² − 3x − 2x + 6 = x² − 5x + 6 ✓

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)

Expand (2x + 3)(x − 4) Using FOIL

Use the FOIL method to expand the product of two binomials.

First: 2x · x = 2x²

Outer: 2x · (−4) = −8x

Inner: 3 · x = 3x

Last: 3 · (−4) = −12

Combine like terms: 2x² − 8x + 3x − 12 = 2x² − 5x − 12

(2x + 3)(x − 4) = 2x² − 5x − 12

Solve 3x + 7 = 22

Solve the linear equation 3x + 7 = 22 for x using inverse operations.

Subtract 7 from both sides: 3x + 7 − 7 = 22 − 7

Simplify: 3x = 15

Divide both sides by 3: x = 15 / 3

Simplify: x = 5

x = 5. Verify: 3(5) + 7 = 15 + 7 = 22 ✓

アルジェブラ計算機の使い方

計算モードを選択

5つのモードから選択：解く（2x + 5 = 13やx^2 - 4 = 0のような方程式）、簡略化（式を最も単純な形に減らす）、因数分解（x^2 + 5x + 6のような多項式を因数に分解する）、展開（(x+3)(x-2)のような積を分配する）、またはシステム（2つの同時線形方程式を解く）。モードは式の解釈と処理方法を決定します。

式を入力

標準記法を使用して数学的な式を入力します。乗算には*を使用（例：2*x）、指数には^を使用（例：x^2）、平方根にはsqrt()を使用します。等式を書くには=を使用します。入力フィールドの下にある記号ボタンをクリックして特殊文字を挿入するか、例のチップをクリックしてそのモードのサンプル式を読み込みます。

解を確認

答えは結果パネルの上部に瞬時に表示されます。二次方程式の場合、根の分析セクションは判別式の値を示し、根を分類します（2つの実数、1つの実数、または実数解なし）。数式参照ボックスは適用された数式を示します。不等式の場合、数直線の視覚化が解の集合をグラフィカルに示します。

ステップバイステップの解法を展開

ステップバイステップの解法アコーディオンをクリックして、答えに到達するために適用されたすべての変換を確認し、各ステップで識別された代数的ルールを確認します。これを使用して解法プロセスを学ぶか、自分の手作業を検証します。解をCSVにエクスポートして式、答え、ステップバイステップの内訳を保存するか、答えを直接クリップボードにコピーします。

よくある質問

二次方程式をどのように入力しますか？

解くモードで二次方程式をax^2 + bx + c = 0の形式で入力します。例えば：x^2 - 5x + 6 = 0、または2x^2 + 3x - 2 = 0。指数には^記号を使用します — 記号ツールバーの^ボタンをクリックするか、直接入力できます。また、x^2 = 4やx^2 + 2x = 8のように再配置された二次方程式を入力すると、計算機は解決する前に標準形に再配置します。計算機は判別式を表示し、根のタイプを分類します（2つの実数解、1つの重複解、または実数解なし）、実数解が存在する場合はxの両方の値を表示します。

二次方程式の公式とは何ですか、いつ使用されますか？

二次方程式の公式はx = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)であり、ここでa、b、cは二次方程式ax² + bx + c = 0の係数です。因数分解が容易でない場合や、正確な解が必要な場合に使用されます。平方根の下の式b² - 4acは判別式と呼ばれます。判別式が正の場合、2つの異なる実数解があります。ゼロの場合、1つの重複解があります（x = -b/2a）。判別式が負の場合、実数解はありません — 解は複素数（虚数iを含む）です。二次方程式の公式は、因数分解がうまくいくかどうかに関係なく、すべての二次方程式に適用されます。

2つの方程式のシステムをどのように解決しますか？

システムモードに切り替え、メイン入力フィールドに最初の方程式を入力します（例：2x + y = 10）、次にEquation 2フィールドに2番目の方程式を入力します（例：x - y = 2）。計算機は代入を使用してシステムを解決します：1つの方程式から1つの変数を孤立させ、もう1つに代入します。結果は、両方の方程式を同時に満たすxとyの値を示します。システムは、方程式によって表される2つの直線が正確に1点で交差する場合に一意の解を持ち、直線が平行な場合は解なし、2つの方程式が同じ直線を表す場合は無限の解を持ちます。

多項式の因数分解とは何ですか？

多項式の因数分解とは、それをより単純な多項式因子の積として表現することを意味します。例えば、x² + 5x + 6は(x + 2)(x + 3)に因数分解されます。なぜなら、これらの2項式を掛けると元の式が戻るからです。因数分解は展開の逆です。多項式方程式を解く（各因子をゼロに等しくして根を見つける）、有理式を簡略化する（分子と分母から共通因子をキャンセルする）、および多項式関数の挙動を理解するのに役立ちます。計算機は二次三項式、平方の差（a² - b² = (a+b)(a-b)）、および線形式を処理します。因数分解モードで多項式を入力すると、計算機はステップバイステップの説明とともに因数分解された形を返します。

簡略化と展開の違いは何ですか？

簡略化は、同類項を結合し、分数を減らし、算術を適用することによって、式を最もコンパクトな同等形に減らします。例えば、3x + 2x - 4は5x - 4に簡略化されます。展開は、因数分解または積の形の式を取り、乗算を分配して項の和に変換します。例えば、(x + 3)(x - 2)はFOIL法（First, Outer, Inner, Last）を使用してx² + x - 6に展開されます。これらは逆の操作です：因数分解は展開の逆であり、簡略化はすでに展開された式の複雑さを減らします。すでに和と差として書かれた式を減らすには簡略化モードを使用します。2項式や多項式の積を分配するには展開モードを使用します。

線形不等式は方程式とはどのように異なって解決されますか？

線形不等式は、線形方程式と同じ逆操作を使用して解決されますが、1つの重要な違いがあります：両辺を負の数で掛けたり割ったりすると、不等式の向きが逆転します。例えば、-2x > 8を解くには-2で割る必要があり、>が<, giving x < -4. The calculator handles this automatically and shows the step where the flip occurs. The solution to a linear inequality is a range of values rather than a single number. The number line visualization shows the solution set graphically, using an open circle for strict inequalities (< or >に反転します）境界値が含まれない場合、閉じた円は境界値が解に含まれる場合（≤または≥）です。